Вариант 9
В коробке находятся 9 новых теннисных мячей. Для игры берут три мяча. После игры мячи возвращают в коробку. Какова вероятность, что после трех в коробке не останется неигранных мячей?
В группе 25 студентов. Из них отлично успевают 5 человек, хорошо — 12, удовлетворительно — 6; слабо — 2. Найти вероятность того, что случайно вызванный студент будет отличник или хорошо успевающий студент.
В урне находятся 3 шара белого или черного цветов. Все предположения о первоначальном составе урны — равновероятны. Произведено 4 опыта, состоящих в вынимании каждый раз по одному шару с последующим возвращением его в урну. В результате опытов появлялись шары: черный; белый; белый; белый. Найти послеопытные (апостериорные) вероятности различных составов урны.
Вероятность остановки в течение часа одного из 8 станков равна 0,8. Найти вероятность того, что в течение часа: а) остановится 2 станка; б) будут работать без остановки не мене 6 станков.
Стрелок сделал 30 выстрелов с вероятностью попадания при каждом, равной 0,3. Найти наивероятнейшее число попаданий. Определить вероятность того, что будет: а) 8 попаданий; б) не менее 10 попаданий.
Вариант 10
Вероятность того, что стрелок, произведя выстрел, выбьет 10 очков, равна 0,4; 9 очков — 0,3; менее 9 очков — 0,3. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков.
Многолетними наблюдениями установлено, что в данном районе в сентябре 10 дней бывают дождливыми. Какова вероятность того, что из трех первых дней месяца ни один не будет дождливым?
Одну и ту же операцию выполняют рабочие 3-го, 4-го и 5-го разрядов. При этом рабочий 5-го разряда допускает 2% брака, 4-го разряда - 3% 3-го разряда- 5%. При проверке очередной детали она оказалась бракованной. Какова вероятность того, что ее изготовил рабочий 4-го разряда, если из 10 человек, выполняющих данную операцию, двое имеют 5-й разряд, пятеро — 4-й, трое — 3-й?
Всхожесть семян составляет 90 %. Найти вероятность того, что что из 4 посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.
Фабрика выпускает в среднем 70% продукции 1-го сорта. Чему равна вероятность того, что в партии из 1000 изделий число первосортных окажется: а) точно 680? б) от 680 до 700? Найти наивероятнейшее число первосортных деталей в этой партии.
Вариант 11
При регистрации 420 участников собрания оказалось, что начальной буквой фамилии у десятерых участников была «А», у шестерых — «Е», у девяти — «И», у двенадцати — «О», у пяти — «У», у трех — «Ю». У остальных участников фамилия начиналась с согласной буквы. Найти вероятность того, что фамилия выбранного наугад участника собрания начинается с гласной.
Рабочий обслуживает 3 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый станок потребует внимания рабочего, равна 0,9; второй — 0,8; третий — 0,85. Найти вероятность того, что в течение часа потребуют внимания: а) все станки; б) два станка.
С первого станка на сборку поступает 40% всех деталей, со второго — 30%, с третьего — 20%, с четвертого — 10% Среди деталей с первого станка — 0,1 бракованных, со второго — 0,2%, с третьего — 0,25%, с четвертого — 0,5%. На сборку поступила бракованная деталь. Какова вероятность того, что она поступила со второго станка?
Вероятность выиграть по одному из 6 билетов лотереи равна 0,15. Какова вероятность выиграть: а) по двум билетам? б) не менее чем по трем билетам?
Вероятность того, что отдельное изделие будет стандартным, равна 0,62. Определить вероятность того, что в партии из 800 изделий окажется: а) 520 стандартных; б) от 500 до 700 стандартных. Найти наивероятнейшее число нестандартных изделий в этой партии.
Вариант 12
На электростанции работает 15 сменных инженеров, из которых три — женщины. В смену занято три человека. Найти вероятность того, что в случайно выбранную смену будут работать не менее двух мужчин.
Станок-авто мат штампует детали. Вероятность того, что за смену не будет выпущено ни одной бракованной детали, равна 0,9. Найти вероятность того, что не будет брака в течение: а) двух смен; б) трех смен.
Имеется 10 одинаковых урн, из которых в 9-и находится 2 черных и 2 белых шара, а в одной 5 белых и один черный шар. Из наудачу взятой урны извлекают белый шар. Какова вероятность того, что шар извлечен из урны, содержавшей 5 белых шаров?
Вероятность изготовления нестандартной детали равной 0,05. Найти вероятность того, что из пяти наудачу взятых деталей стандартными будут: а) 4 детали; б) не менее 4 деталей.
Определить вероятность того, что число мальчиков среди 1000 новорожденных окажется: а) точно 480; б) более 480, но менее 540. Найти наивероятнейшее число мальчиков среди 1000 новорожденных. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,515.
Вариант 13
Предприятие в среднем выпускает 21% продукции высшего сорта и 70% продукции первого сорта. Найти вероятность того, что случайно взятое изделие окажется первого или высшего сорта.
Три студента сдают экзамен. Вероятность сдать экзамен для первого студента равна 0,95; для второго — 0,9; для третьего — 0,85. Найти вероятность того, что экзамен сдадут: а) два студента: б) все три студента.
Вероятность попадания при каждом выстреле для трех стрелков соответственно равны 0,8; 0,75; 0,65. При одновременном выстреле всех трех стрелков оказалась 2 попадания. Найти вероятность того, что промахнулся третий стрелок.
На автобазе — 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы автобазы, если для этого необходимо иметь на линии не минее 8 автомашин.
Посажено 400 деревьев. Вероятность того, что дерево приживется, равна 0,8. Определить вероятность того, что приживется; а) 330 деревьев; б) не менее 330, но не более 350 деревьев. Найти наивероятнейшее число прижившихся деревьев.
Вариант 14
Для производственной практики для 30 студентов предоставлено 15 мест в Минске; 8 — в Гомеле; 7 — в Витебске. Какова вероятность того, что два определенных студента попадут на практику в один город?
Три студента сдают экзамен. Вероятность сдать экзамен для первого студента равна 0,8; для второго — 0,65; для третьего — 0,7. Найти вероятность того, что экзамен сдаст: а) хотя бы один студент: б) только один студент.
Третья часть одной из трех партий является второсортной, остальные детали во всех партиях — первого сорта. Деталь, взятая из одной партии, оказалась первосортной. Найти вероятность того, что деталь была взята из партии, имеющей второсортные детали.
Ожидается прибытие трех судов с бананами. Статистика показывает, что в 1% случаев груз бананов портится в дороге. Найти вероятность того, что с испорченным грузом прибудут: а) три судна; б) не менее двух.
Вероятность выпуска электролампы с дефектом равна 0,03. Найти наивероятнейшее число бездефектных ламп в партии из 200 штук. Определить: а) вероятность наивероятнейшего числа бездефектных ламп; б) вероятность того, что в этой партии число бездефектных ламп не превысит десяти.
Вариант 15
Для 12 рабочих выделены путевки в четыре дома отдыха: 3 — в первый; 3 — во второй; 2 — в третий; 4 — в четвертый. Какова вероятность того, что три определенных рабочих поедут в один дом отдыха?
Десять охотников производят поочередно по одному выстрелу в мишень, до первого попадания. Вероятность попадания в мишень для первых пяти охотников равна 0,4; для других пяти — 0,7. Найти вероятность того, что мишень поразит: а) пятый охотник; б) седьмой охотник.
В команде спортсменов — 4 лыжника, 6 бегунов и 10 велосипедистов. Вероятность выполнить норму мастера спорта для лыжника равна 0,2; для бегуна — 0,15; для велосипедиста — 0,1.
Вызванный наудачу спортсмен выполнил норму. Определить вероятность того, что был вызван бегун.
Всхожесть семян составляет 70%. Какова вероятность того, что из 10 посеянных семян взойдут: а) восемь? б) по крайней мере, восемь?
Вариант 16
На 30-и одинаковых жетонах написаны 30 двухзначных чисел от 11 до 40. Жетоны помещены в пакет и тщательно перемешаны. Какова вероятность вынуть наугад жетон с номером, кратным 3 или 2?
Рабочий устанавливает в механизм две одинаковые детали, беря их случайным образом из десяти имеющихся. Среди деталей — две нестандартные. Механизм не будет работать, если обе установленные детали окажутся нестандартными. Найти вероятность того, что механизм будет работать.
Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «тире». Статистические свойства помех таковы, что искажается в среднем 40% сообщений типа «точка» и 65% — типа «тире». Известно, что среди сигналов «точка» и «тире» встречаются в соотношении 5 : 3. Найти вероятность того, что принят правильный сигнал, если принят сигнал : а) «точка»; б) «тире».
Всхожесть семян составляет 70%. Найти вероятность того, что из 8 посеянных семян взойдут: а) три? б) не менее трех.
Всхожесть семян оценивается вероятностью 0,75. Определить вероятность того, что из 500 посеянных семян не взойдет: а) точно 130; б) не более 130. Найти наивероятнейшее число взошедших семян.
Вариант 17
Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что хотя бы на одной из них выпадет 5 очков?
Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок потребует внимания рабочего, равна 0,8; второй — 0,6; третий — 0,5. Найти вероятность того, что в течение часа внимания рабочего: а) не потребует ни один станок; б) потребуют два станка.
В тире имеется 5 винтовок, вероятности попадания из которых равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Выстрел из наудачу взятой винтовки дал промах. Из какой винтовки вероятнее всего был произведен выстрел?
Вероятность того, что покупателю необходима обувь 40-го размера, равна 0,3. Найти вероятность того, что из пяти первых покупателей обувь этого размера будет необходима: а) одному; б) по крайней мере, одному.
Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,1. Найти наивероятнейшее число стандартных среди 150 деталей. Определить вероятность того, что среди 200 деталей будет: а) 30 нестандартных; б) не более 30 нестандартных.
Вариант 18
В мастерской 2 мотора работают независимо друг от друга. Вероятность выхода из строя в течение смены первого мотора равна 0,1; второго — 0,15. Найти вероятность того, что в течение смены оба мотора будут работоспособны.
Среди 50 ламп — 3 нестандартные. Найти вероятность того, что две взятые лампы окажутся нестандартными.
Имеется 5 винтовок, из которых 3 — с оптическим прицелом. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из винтовки с прицелом равна 0,9; без прицела — 0,7. Произведенные 4 выстрела из наудачу взятой винтовки дали результат: три попадания и один промах. Найти вероятность того, что выстрел произведен из винтовки: а) с прицелом; б) без прицела.
Вероятность того, что наудачу взятая деталь является нестандартной, равна 0,1. Найти вероятность того, что среди 5 деталей не менее 4 будут стандартными.
При штамповке металлических клемм получается 90% годных. Найти наивероятнейшее число годных клемм среди 900 отобранных. Определить вероятность того, что среди отобранных окажется: а) 105 бракованных; б) не менее 105 и не более 110 бракованных.
Вариант 19
Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,6; второго - 0,7; третьего — 0,75. Найти вероятность, по крайней мере, одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу?
В ящике среди 100 одинаковых по виду деталей — 80 стандартных. Взяты две детали. Найти вероятность возможных при этом исходов.
Среди поступающих на сборку деталей с первого станка — 0,1% бракованных, со второго — 0,2%, с третьего — 0,25%, с четвертого - 0,5% Производительности станков относятся как 4:3: 2:1 соответственно. Поступившая на сборку деталь оказалась стандартной. Найти вероятность, что она изготовлена: а) на первом станке; б) на четвертом станке.
В хлопке 70% длинных волокон. Какова вероятность того, что среди 10 взятых наудачу волокон не менее восьми окажутся длинными?
Вероятность того, что покупателю необходима обувь 41-го размера, равна 0,2. Найти наивероятнейшее число покупателей обуви 41-го размера из 750. Какова вероятность того, что из 750 покупателей обувь 41-го размера потребуют: а) 140 человек; б) не более 140.
Вариант 20
В денежно-вещевой лотереи на 1000 билетов приходится 24 денежных и 10 вещевых выигрышей. Покупается два билета. Какова вероятность выиграть: а) хотя бы по одному билету; б) по первому билету денег, а по второму — вещей.
Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 41- го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что пять первых покупателей потребуют обувь 41-го размера.
Вероятность попадания в цель из первого орудия равна 0,7; из второго — 0,85; из третьего — 0,8. Из наудачу выбранного орудия произведено по цели 2 выстрела, из которых один дал попадание. Из какого орудия вероятнее всего велась стрельба?
Вероятность ремонта телевизора в течение гарантийного срока равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 6 телевизоров ремонт потребуют: а) не более двух; б) хотя бы два.
Вероятность наступления события А в каждом испытании равна 0,8. Найти наивероятнейшее число наступления события А при 100 испытаниях.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования – М.: Издательский центр «Академия», 2011 г.
Богомолов Практическое занятие по математике – М. Высшая школа, 2002 г.
О.Н.Афанасьев, Я.С.Бродский, А.Л.Павлов Математика для техникумов – М, Наука, 1991 г.
Щипачев В.С. «Высшая математика», 2001 г.
Щипачев В.С. «Сборник задач по высшей математике», 2001 г.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Таблица А1. Значения функции 
х
|
+ 0+ 0,01 + 0,02 + 0,03+ 0,04 + 0,05 + 0,06 + 0,07+ 0,08 + 0,09
|
0,0
|
0,3989 0,3989 0,3989 0,3988 0,3986 0,3984 0,3982 0,3980 0,3977 0,3973
|
0,1
|
0,3970 0,3965 0,3961 0,3956 0,3951 0,3945 0,3939 0,3932 0,3925 0,3918
|
0,2
|
0,3910 0,3902 0,3894 0,3885 0,3876 0,3867 0,3857 0,3847 0,3836 0,3825
|
0,3
|
0,3814 0,3802 0,3790 0,3778 0,3765 0,3752 0,3739 0,3726 0,3712 0,3697
|
0,4
|
0,3683 0,3668 0,3652 0,3637 0,3621 0,3605 0,3589 0,3572 0,3555 0,3538
|
0,5
|
0,3521 0,3503 0,3485 0,3467 0,3448 0,3429 0,3410 0,3391 0,3372 0,3352
|
0,6
|
0,3332 0,3312 0,3292 0,3271 0,3251 0,3230 0,3209 0,3187 0,3166 0,3144
|
0,7
|
0,3123 0,3101 0,3079 0,3056 0,3032 0,3011 0,2989 0,2966 0,2943 0,2920
|
0,8
|
0,2897 0,2874 0,2850 0,2827 0,2803 0,2780 0,2756 0,2732 0,2709 0,2685
|
0,9
|
0,2661 0,2637 0,2613 0,2589 0,2565 0,2541 0,2516 0,2492 0,2468 0,2444
|
1,0
|
0,2420 0,2396 0,2371 0,2347 0,2323 0,2299 0,2275 0,2251 0,2227 0,2203
|
1,1
|
0,2179 0,2155 0,2131 0,2107 0,2083 0,2059 0,2036 0,2012 0,1989 0,1965
|
1,2
|
0,1942 0,1919 0,1895 0,1872 0,1849 0,1826 0,1804 0,1781 0,1758 0,1736
|
1,3
|
0,1714 0,1691 0,1669 0,1647 0,1626 0,1604 0,1582 0,1561 0,1539 0,1518
|
1,4
|
0,1497 0,1476 0,1456 0,1435 0,1415 0,1394 0,1374 0,1354 0,1334 0,1315
|
1,5
|
0,1295 0,1276 0,1257 0,1238 0,1219 0,1200 0,1182 0,1163 0,1145 0,1127
|
1,6
|
0,1109 0,1092 0,1074 0,1057 0,1040 0,1023 0,1006 0,0989 0,0973 0,0957
|
1,7
|
0,0940 0,0925 0,0909 0,0893 0,0878 0,0863 0,0848 0,0833 0,0818 0,0804
|
1,8
|
0,0789 0,0774 0,0759 0,0745 0,0731 0,0718 0,0705 0,0692 0,0680 0,0668
|
1,9
|
0,0656 0,0644 0,0632 0,0620 0,0608 0,0596 0,0584 0,0573 0,0562 0,0551
|
2,0
|
0,0540 0,0529 0,0519 0,0508 0,0498 0,0488 0,0478 0,0468 0,0459 0,0449
|
2,1
|
0,0440 0,0431 0,0422 0,0413 0,0404 0,0396 0,0387 0,0379 0,0371 0,0363
|
2,2
|
0,0355 0,0347 0,0339 0,0332 0,0325 0,0317 0,0310 0,0303 0,0297 0,0290
|
2,3
|
0,0283 0,0277 0,0270 0,0264 0,0258 0,0252 0,0246 0,0241 0,0235 0,0229
|
2,4
|
0,0224 0,0219 0,0213 0,0208 0,0203 0,0198 0,0194 0,0189 0,0184 0,0180
|
2,5
|
0,0175 0,0171 0,0167 0,0163 0,0158 0,0154 0,0151 0,0147 0,0143 0,0139
|
2,6
|
0,0136 0,0132 0,0129 0,0126 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110 0,0107
|
2,7
|
0,0104 0,0101 0,0099 0,0096 0,0093 0,0091 0,0088 0,0086 0,0084 0,0081
|
2,8
|
0,0079 0,0077 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0067 0,0065 0,0063 0,0061
|
2,9
|
0,0060 0,0058 0,0056 0,0055 0,0053 0,0051 0,0050 0,0048 0,0047 0,0046
|
3,0
|
0,0044 0,0043 0,0042 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 0,0035 0,0034
|
3,1
|
0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026 0,0025 0,0025
|
3,2
|
0,0024 0,0023 0,0022 0,0022 0,0021 0,0020 0,0020 0,0019 0,0018 0,0018
|
3,3
|
0,0017 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014 0,0013 0,0013
|
3,4
|
0,0012 0,0012 0,0012 0,0011 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0009 0,0009
|
3,5
|
0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007 0,0007 0,0006
|
3,6
|
0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004
|
3,7
|
0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003
|
3,8
|
0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002
|
3,9
|
0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001
|
|
