4 КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № 2
Основные понятия теории вероятностей
Под опытом понимают некоторую совокупность условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат.
Событием (или случайным событием) называется всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.
Вероятностью некоторого событья называется численная мера степени объективной возможности появления этого событию в результате нового опыта.
Вероятность события А обозначается какР(А).
Достоверным называется событие U, которое в результате опыта непременно происходит. Для достоверного события Р(U) = 1.
Невозможным называется событие, которое в результате опыта не может произойти происходит. Вероятность появления невозможного события равна нулю.
Вероятность собственно случайного события А заключена между нулем и единицей: 0 <Р(А) < 1.
Полной группой событий называется несколько попарно несовместных событий таких, что в результате опыта одно из них непременно происходит.
Несколько событий в данном опыте называются несовместными, если никакие два из них не могут произойти одновременно в одном опыте.
Несколько событий называются равновозможными, если они обладают равной степенью объективной возможности произойти в результате опыта.
Если исходы опыта образуют полную группу несовместных равновозможных событий, то они называются случаями.
Случай называется благоприятствующим событию А, если его появление влечет за собой появление события А.
Классическое определение вероятности
Если результаты опыта сводятся к схеме случаев, то вероятность событияА вычисляется по формуле
 (1)
где n — общее число случаев; m — число случаев, благоприятствующих событию А.
Часто для подсчета величин n и m в формуле (1) используют формулы комбинаторики: для числа сочетаний из n элементов по m - формулу ; для числа размещений из n элементов по m- формулу ; для числа перестановок из m элементов – формулу  . При этом . Исключение: 0!=1.
Пример 1. Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятности событий: А - сумма выпавших очков равна 6; В - произведение выпавших очков равно 8; С - сумма и произведение выпавших очков равны 8.
Решение. Общее число возможных элементарных исходов опыта n = 36, так как выпадение очков на одной кости имеет 6 вариантов, и каждый вариант одной кости может сочетаться с 6 вариантами другой кости. Все исходы составляют полную группу несовместных равновозможных событий.
Благоприятствующими событиюА являются следующие исходы: 2+6; 3+5; 4+4; 5+3; 6+2, т.е. m=5. Искомая вероятность, согласно формуле (1), .
Благоприятствующими событию В являются два исхода: ;  ,т.е. m=2. Согласно формуле (1)  Благоприятствующих событию С исходов — нет, т.е. m=0, и Р(С)=0.
Пример 2.В ящике 100 деталей, из них 10 — бракованные. Наудачу извлекаются 4 детали. Найти вероятность событияА — наличие среди извлекаемых деталей ровно трех стандартных.
Решение. Общее число возможных исходов . Все они образуют полную группу несовместных равновозможных событий. Подсчитаем число исходов, благоприятствующих событию А. Три стандартные детали из 90 имеющихся в ящике можно извлечь  способами. С каждой полученной выборкой из 3 стандартных деталей может сочетаться одна нестандартная деталь из 10 имеющихся  способами. Следовательно,  , а 
Пример 3. На десяти карточках написаны цифры 0, 1, ... , 9. Три из них выбираются наугад и укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что: а) получится число 245 (событие А); б) из выбранных цифр можно составить число 245 (событие В).
Решение. Общее число всех возможных исходов опыта — это число размещений из 10 элементов по 3. Полученные соединения элементов (карточек) могут отличаться друг от друга или самими элементами, или порядком их следования. Все исходы образуют полную группу несовместных равновозможных событий в количестве  . Из общего числа исходов только один благоприятен получению числа 245, т.е. число благоприятствующих исходов m=1.Тогда искомая вероятность событияА, согласно формуле (1),  .
В отличие от события А для события В общее число исходов опыта вычисляется как число сочетаний из 10 по 3, так как порядок выбора элементов не играет роли. Искомая вероятность  .
Пример 4. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «КНИГА». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово «КНИГА».
Решение. Из пяти букв ребенок может составить различные буквосочетания, которые отличаются друг от друга только порядком следования букв. Поэтому число всех исходов опыта вычислим как число перестановок из 5 элементов:  . Все исходы образуют полную группу несовместных равновозможных событий, из которых только одно благоприятствует появлению событию А - восстановлению слова «КНИГА». Следовательно, искомая вероятность  .
Пример 5. Из шести букв разрезной азбуки составлено слово «АНАНАС». Найти, как и в предыдущей задаче, вероятность восстановления слова.
Решение. Общее число возможных исходов опыта  . Число благоприятных исходов mбольше, чем в предыдущей задаче. Следует учесть, что перестановка местами двух букв Н, значения слова не меняет. Соответствующее число перестановок определяется как  . Но с каждой перестановкой букв Н может сочетаться перестановкой из трех букв А. Общее число перестановок последних определяется как  . Таким образом, число благоприятствующих исходов  . Искомая вероятность  .
Сложные события. Основные теоремы теории вероятностей
Суммой двух событий А и В называют событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В.
Суммой нескольких событий называют событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.
Произведением двух событий А и В называют событие D, состоящее в совместном появлении событий А и В.
Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Теорема о вероятности суммы событий. Вероятность суммы двух событий равны сумме их вероятностей минус вероятность произведения этих событий:
 (2)
В случае несовместных событий вероятность их суммы определяется по формулам:
 - для двух событийА и В; (3)
 - дляnсобытий. (4)
Два несовместных событияА и  называются противоположными, если они составляют полную группу. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
 (5)
Теорема о вероятности произведения двух событий. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:
 (6)
где - условная вероятность события В при условии, что состоялось событие А;  - условная вероятность события А при условии, что состоялось события В.
В случае независимых событий формула (6) упрощается:
 - для двух событий А и В; (7)
 - для n событий. (8)
Пример 6. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия батареи равна 0,7; из второго — 0,8. Найти вероятность поражения цели при одном залпе батареи.
Решение. Введем обозначения. Пусть А — событие, которое заключается в попадании в цель первым орудием; В — вторым. Рассматриваемые события являются совместными и независимыми. Следовательно, событиеС (поражение мишени при залпе) является суммой двух совместных событий, и вероятность события С можно определить по формуле (2)
Данную задачу можно решить и другим способом.
Цель будет поражена, если произойдет одно из трех несовместных событий:  - в цель попало первое орудие и не попало второе;  - в цель не попало первое орудие и попало второе;  - в цель попали оба орудия. В этом случае, применяя теорему о сумме несовместных событий в форме (4), а затем теорему о произведении независимых событий, получим
 Самый простой способ решения рассматриваемой задачи заключается в представлении вероятности событияС через вероятность противоположного событияC — промах обоих орудий:
Пример 7. Студент пришел на экзамен, зная ответы на 15 из 20 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент ответит на три заданных экзаменатором вопроса.
Решение. СобытиеС (студент знает ответы на все три вопроса) представляет собой произведение трех зависимых событий: А1(студент знает ответ на первый вопрос); А2 (студент знает ответ на второй вопрос при условии, что он ответил на первый) и А3 (студент знает ответ на третий вопрос при условии, что он ответил на первый и второй). Вычислим вероятности этих событий:
 ;  ; 
По теореме о вероятности произведения зависимых событий
Пример 8. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «КНИГА». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал буквы, а затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово «КНИГА».
Решение. Данная задача уже рассматривалась (см. Пример 4). Приведем второй вариант решения, используя основные теоремы вероятности.
Чтобы в порядке появления букв получилось слово «КНИГА», первой должна появиться буква К. Вероятность такого события поскольку из пяти возможных исходов только один благоприятствует появлению буквы К. Предположим, что это событие произошло. Тогда вероятность того, что из оставшихся четырех букв следующей появится Н, определяется как  .
Аналогично вычисляются вероятности последовательного появления
букв И,Ги А:  ; ; . По теореме о вероятности произведения зависимых событий найдем искомую вероятность: 
Формула полной вероятности и формула Байеса
Если в условиях опыта событие А появляется совместно с одним из полной группы несовместных событий (гипотез) , то средняя вероятность события А определяется по формуле полной (средней) вероятности:
 , (9)
где  - вероятность гипотезыHi;  - условная вероятность события А при осуществлении гипотезыHi.
Если известны априорные (доопытные) вероятности гипотез и известно, что событие А произошло, то апостериорные (послеопытные) вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса:
 (10)
Пример 9. На склад поступает продукция трех фабрик, при этом доля продукции первой фабрики составляет 20%, второй — 46%, третьей — 34%. Известно также, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики составляет 3%, второй — 2%, третьей — 1%. Найти вероятность того, что а) наудачу взятое изделие окажется нестандартным;б)изделие изготовлено на первой фабрике, если оно оказалось нестандартным; в)изделие изготовлено на второй фабрике, если оно оказалось стандартным. г) На какой фабрике вероятнее всего было изготовлено изделие, если оно оказалось стандартным?
Решение. а) Наудачу взятое изделие может быть изготовлено или на первой фабрике (гипотезаH1), или на второй (гипотезаH2), или на третьей (гипотезаH3). Все гипотезы несовместны и составляют полную группу. Вероятность каждой гипотезы определяется переводом процентной доли продукции соответствующей фабрики в безразмерную величину, т.е. делением заданной по условию доли на 100%. Так, Р(Н1) = 0,2; Р(Н2)= 0,46; Р(Н3) = 0,34. Аналогично определяются условные вероятности события А (изделие является нестандартным):Р(А/Н1) = 0,03; Р(А/Н2) = 0,02; Р(А/Н3) = 0,01. Теперь, используя формулу (9), можно получить искомую полную вероятность событияА:
б) Известно, что событиеА уже произошло. Требуется определить апостериорную вероятность гипотезы Н1. Искомую вероятность найдем с помощью формулы Байеса:
в) По условию задачи изделие оказалось стандартным, то есть в принятых нами обозначениях произошло событие. Необходимо найти апостериорную вероятность гипотезы Н2.
По формуле Байеса:
События А и являются противоположными. С учетом (5)  . Аналогично вычисляем условную вероятность события A при условии, что осуществилась гипотеза Н2:  .
Подставляя найденные вероятности в формулу Байеса, получим искомую вероятность:
г) Чтобы определить, на какой фабрике вероятнее всего было изготовлено стандартное изделие, необходимо сравнить между собой апостериорные вероятности гипотез:  ,  , . Наибольшая из этих вероятностей и определит искомую фабрику. Одна из указанных вероятность была только что определена, а именно:  . Аналогично определим недостающие апостериорные вероятности гипотез:  , . Наибольшей апостериорной вероятностью обладает вторая гипотеза. Следовательно, стандартное изделие вероятнее всего было изготовлено на второй фабрике.
Повторение опыта
Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равнар, событие наступит ровноk раз (безразлично в какой последовательности), определятся по формуле:
 (11)
Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в nнезависимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равнар, событие наступит ровноk раз (безразлично в какой последовательности), может быть оценена (тем точнее, чем больше п по формуле):
 (12)
где  - функция Гаусса, или плотность стандартного
нормального распределения;  - аргумент функции Гаусса;  - вероятность противоположного события.
В приложении А приведена таблица значений функции  от положительного аргумента х (табл. А1 в Приложении 1). Функция Гаусса — четная, поэтому значения функции от отрицательного аргумента определяются как .
Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна  , событие наступит не менее k1раз и не болееk2 раз (безразлично в какой последовательности), может быть оценена (тем точнее, чем большеn) по формуле:
 (13)
где  - функция Лапласа, или интегральная функция стандартного нормального распределения; 
и  - аргументы интегральной функции распределения; q=(1-p) - вероятность противоположного события.
В приложении А приведена таблица значений функции от положительного аргумента х (табл. А2 в Приложении 2). Функция Лапласа — нечетная, поэтому значения функции от отрицательного аргумента определяются какФ(-x)= -Ф ( х).
Наивероятнейшее число наступления события. Если в каждом из п независимых испытаниях событие появляется с одинаковой вероятностью р, то наивероятнейшее число наступления события k0 в этих испытаниях (безразлично в какой последовательности) определяется с помощью двойного неравенства:
 (14) |
