Пример 10. Производится 5 выстрелов по мишени с вероятностью попадания каждого, равной 0,7. Какова вероятность того, что будет: а) точно 3 попадания; б) не менее 4 попаданий; в) не более 3 попаданий.
Решение. а) Производится n= 5 независимых испытаний с постоянной вероятностью появления события (попадание в мишень) в каждом из нихр = 0,7. Вероятность того, что будет точно k = 3 попаданий, вычисляется по формуле Бернулли:
б) СобытиеА, которое заключается в том, что при 5 выстрелах будет не менее 4 попаданий, можно рассматривать как сумму двух несовместных событий: В (4 попаданий из 5) и С (5 попаданий из 5). Вероятности двух последних событий определяются по формуле Бернулли:
Искомую вероятность определим по теореме о вероятности суммы двух событий:
Р(A) = Р(В) + Р(С) =0,36015 + 0,16807 = 0,52822
б) Рассуждая так же, как и в предыдущей задаче, можно вычислить вероятность события (не более трех попаданий при пяти выстрелах) как сумму вероятностей четырех несовместных событий: Р5 (0) +Р5(1) +Р5(2) +Р5(3). Однако задача решается горазда проще, если учесть, что события А (не менее четырех попаданий при пяти выстрелах) и  (не более трех попаданий при пяти выстрелах) противоположны. Тогда
Пример 11. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах, мишень будет поражена: а) ровно 75 раз; б) не менее 75 раз.
Решение. а) По условию задачи производится n = 100 независимых испытаний с одинаковой вероятностью появления события (попадание в мишень)р = 0,8. Вероятность попадания в мишень ровно 75 раз при 100 выстрелах (P100(75))теоретически можно вычислить с помощью формулы Бернулли. Однако при n>10 пользоваться формулой Бернулли нецелесообразно из-за неоправданно больших вычислительных затрат. Определим искомую вероятность с помощью локальной теоремы Лапласа. Для этого предварительно вычислим выражение: , а затем аргумент функции Гаусса:  . По табл. А1 (см. Приложение 1) найдем значение функции . В силу четности функции Гаусса
Окончательно, по локальной теореме Лапласа найдем искомую вероятность:
б) Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа при n=100; p=0,8; q=0,2; k1=75; k2=100:
С учетом того, что функция Лапласа есть нечетная функция, последнее выражение следует преобразовать: Ф(5)-Ф(-1,25)=Ф(5)+Ф(1,25), а затем по табл. А2 (см. Приложение 2) найти соответствующие значения функции. В результате получим:
P(75;100)=Ф(5)-Ф(-1,25)=0,5-0,3944=0,8944
Пример 12. Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,22. Найти наивероятнейшее число опоздавших из 855 пассажиров.
Решение. Производится n = 855 независимых испытаний с постоянной вероятностью (р = 0,02) появления события А (опоздание пассажира к отправлению поезда) в каждом из них. Наивероятнейшее число наступления события А следует определить с помощью двойного неравенства (14):
Наивероятнейшее число наступления событий — это целая величина. В диапазоне, определяемом двойным неравенством (14), находится одно целое число, если только произведение np не является целым. Поэтому искомое число  .
Пример 13. Сколько нужно взять деталей, чтобы наивероятнейшее число годных было равно 50, если вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется бракованной, равна 0,1?
Решение. Вероятность того, что деталь является годной, определим как вероятность противоположного события:р=1-0,1=0,9. Для определения искомой величины n (общее количество деталей, среди которых вероятнее всего находится 50 годных) воспользуемся формулой наивероятнейшего числа появлений событий (14), подставив в нее  и p=0,9:
Решая двустороннее неравенство:
  
получим искомое решение n= 55.
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Вариант 1
Студент знает 15 из 25 вопросов программы курса. Найти вероятность того, что студент знает: а) все три предложенных ему вопроса; б) один из трех вопросов.
Три стрелка произвели по одному выстрелу по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,7; вторым — 0,8; третьим — 0,9. Найти вероятность того, что цель поразит: а) только один стрелок; б) хотя бы один стрелок.
Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 — с вероятностью 0,5; 6 — с вероятностью 0,6. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой группе вероятнее всего принадлежит этот стрелок?
Всхожесть семян ржи составляет 90%. Чему равна вероятность того, что из 7 посеянных семян взойдет: а) пять? б) не мене четырех? Найти наивероятнейшее число взошедших семян из 7 посаженных.
Доля изделий высшего сорта составляет 31%. Найти наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 75 изделий. Определить: а) вероятность наивероятнейшего числа; б) вероятность того, что изделий высшего сорта окажется более 30.
Вариант 2
Из автовокзала отправились два автобуса в аэропорт. Вероятность своевременного прибытия каждого автобуса в аэропорт равна 0,95. Найти вероятность того, что: а) оба автобуса прибудут вовремя; б) оба автобуса опоздают; в) только один автобус прибудет вовремя.
В коробке содержится 7 стандартных и 2 нестандартных детали. Извлекаются наугад по одной 2 детали. Найти вероятность того, что: а) обе детали окажутся стандартными; б) первая — стандартная, а вторая — нестандартная.
В трех одинаковых по виду коробках находятся карандаши разной твердости. В первой коробке — 6 карандашей твердых и 4 карандаша полутвердых; во второй — соответственно 7 и 3; в третьей — 6 и 5. Из наудачу выбранной коробки взят один карандаш, который оказался полутвердым. Какова вероятность того, что карандаш находился: а) в первой коробке? б) во второй ? с) в третьей?
Найти наивероятнейшее число наступления ясных дней в течение первой декады сентября, если по данным многолетних наблюдений известно, что в сентябре в среднем бывает 11 ненастных дней. Определить: а) вероятность наивероятнейшего числа ясных дней; вероятность того, что ясных дней будет не менее шести.
Игральная кость подброшена 100 раз. Найти вероятность того, что: а) 5 очков выпадут 50 раз; б) 6 очков выпадут не более 50 раз.
Вариант 3
Из трех орудий произведен залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,6; второго — 0,6; третьего — 0,9. Найти вероятность того, что в цель: а) попадет только один снаряд; б) попадут два снаряда.
Две команды по 20 спортсменов производят жеребьевку для присвоения спортсменам номеров. Два брата входят в состав различных команд. Найти вероятность того, что братья будут участвовать под номером 18.
В группе 10 стрелков. Для пяти из них вероятность попадания в цель равна 0,8; для трех — 0,5; для двух — 0,25. Выстрел одного из стрелков дал попадание. Какова вероятность того, что этот выстрел сделан стрелком первой группы? Второй? третьей?
Вероятность выигрыша по облигации займа равна 0,25. Какова вероятность выиграть по 6 из 6 приобретенных облигаций? Какова вероятность выиграть хотя бы по одной из 8 облигаций?
Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,05. Сколько деталей должно быть в партии, чтобы наивероятнейшее число нестандартных в ней было 63. Найти вероятность того, что среди 100 деталей окажется: а) 20 нестандартных; б) не более 20 нестандартных.
Вариант 4
Вероятность хотя бы одного попадания в цель при двух выстрелах равна 0,99. Найти вероятность попадания при одном выстреле.
Два стрелка произвели по одному выстрелу по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9; вторым — 0,8. Найти вероятность того, что цель: а) поразит только один стрелок; б) поразят оба стрелка.
Электролампы изготавливают три завода. Первый завод производит 45% всех ламп, второй — 40%, третий — 15%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго — 80%, третьего — 81%. Какова вероятность того, что приобретенная через магазин лампа окажется: стандартной? Какова вероятность того, что лампа, оказавшаяся стандартной, изготовлена: а) на первом заводе? б) на втором? в) на третьем?
Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Какова вероятность того, что среди 10 новорожденных будет: а) 4 девочки? б) не менее 7 мальчиков?
Число коротких волокон в партии хлопка составляет 25% от общего числа волокон. Сколько волокон должно быть в пучке, если наивероятнейшее число коротких волокон в нем — 114? Определить вероятность того, что в пучке из 200 волокон окажутся короткими: а) точно 100 волокон; б) от 100 до 200.
Вариант 5
Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,2. Стрельба прекращается при первом попадании. Найти вероятность того, что будет произведено ровно шесть выстрелов.
Из полного набора костей домино наугад берутся две. Найти вероятность того, что их можно приставить одну к другой.
В пирамиде находятся 8 винтовок, две из которых — непристрелянные. Вероятность попадания из пристрелянной винтовки равна 0,8; из непристрелянной — 0,4. Какова вероятность того, что выстрел из наудачу взятой винтовки даст попадание? Какова вероятность того, что выстрел произведен из пристрелянной винтовки, если он дал попадание?
В магазин вошли 12 покупателей. Вероятность совершить покупку для каждого покупателя равна 0,2. Найти вероятность того, что покупку совершат: а) 4 покупателя; б) не более трех покупателей.
Посеяно 28 семян с вероятностью всхожести каждого 0,8. Найти наивероятнейшее число взошедших семян. Определить вероятность того, что взойдет: а) точно 20 семян; б) не менее 20 и не более 25 семян.
Вариант 6
В ящике находятся 12 теннисных мячей, среди них 6 новых. Для первой игры наугад берут 3 мяча, после игры их возвращают назад. Найти вероятность того, что после второй игры неигранных мячей не останется.
Вероятность выиграть по одному билету лотереи равна 0,3. Какова вероятность, имея 5 билетов, выиграть: а) по двум? б) хотя бы по одному?
Среди 10 стрелков — два мастера спорта, поражающих 10 мишеней из 10; один перворазрядник, поражающий 9 из 10; четыре второразрядника, поражающих 8 из 10; три новичка, поражающих по 7 мишеней из10. Какова вероятность того, что вызванный наудачу стрелок поразит подряд 3 мишени? Какова вероятность того, что выстрел произвел перворазрядник, если стреляющий поразил 3 мишени?
В мастерской работают 12 моторов. Вероятность того, что в данный момент мотор работает с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент с полной нагрузкой работают: а) не менге 10 моторов; б) 3 мотора.
На станке изготовили 90 деталей. Чему равна вероятность изготовления на этом станке детали 1-го сорта, если наивероятнейшее число таких деталей в данной партии равно 82? Найти вероятность того, что в данной партии деталей 1-го сорта окажется: а) точно 80; б) не менее 80.
Вариант 7
Вероятность одного попадания в цель при залпе из двух орудий равна 0,46. Найти вероятность попадания в цель первого орудия при одном выстреле, если для второго эта вероятность равна
Из цифр 1,2, 3, 4, 5 выбирается наугад одна, а из оставшихся — другая. Найти вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра: а) первый раз; б) второй раз; в) оба раза.
Станки А, В, С производят соответственно 25%, 30%, 40% всех изделий. При этом брак на первом станке составляет 5%, на втором — 4%, на третьем — 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранное изделие окажется бракованным? Какова вероятность того, что изделие изготовлено на станке А, если оно оказалось дефектным?
Вероятность попадания снаряда в цель равна 0,3. Выпущено 5 снарядов. Какова вероятность того, что в цель попадет: а) 3 снаряда? б) не менее двух снарядов?
Монета подброшена 40 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) в 25 случаях; б) не более 26 раз. Определить наивероятнейшее число выпадения герба.
Вариант 8
Король Артур проводит рыцарский турнир, в котором среди 8 рыцарей принимают участие 2 близнеца. Участники четырех поединков первого тура выбираются по жребию. Какова вероятность, что в первом туре близнецы сразятся друг с другом?
В магазин поступила партия обуви одного фасона и размера, но разного цвета. Партия состоит из 40 пар обуви черного цвета; 26 — коричневого; 22 — красного; 12 — желтого. Какова вероятность того, что наудачу взятая коробка окажется с обувью красного или желтого цвета?
Деталь, которая обрабатывалась одним из трех инструментов, была признана негодной. Найти вероятность того, что деталь обрабатывалась вторым инструментом, если вероятность появления брака после обработки первым инструментом равна 0,2; вторым — 0,4; третьим — 0,6.
Вероятность попадания снаряда в цель равна 0,3. Выпущено 8 снарядов. Какова вероятность хотя бы одного попадания в цель?
Из партии, в которой доля первосортных деталей составляет 80%, отобрано 60. Определить вероятность того, что среди отобранных число первосортных деталей составляет: а) точно 49; б) не менее 40, но более 48. Найти наивероятнейшее число первосортных деталей в отобранной партии.
|
