А) В) С) D) Е) все фигуры можно составить
24. В треугольнике отмечены вершины и, кроме того, по одной точке на каждой из сторон. Сколько треугольников с вершинами в отмеченных точках можно построить?
 А) 5; В) 10; С) 17; D) 20; Е) 21.
25. Разность двух четырехзначных чисел равна 7. Для каждого их этих чисел Вася вычислил сумму цифр, а потом из большей суммы вычел меньшую. Какой результат он не мог получить?
А) 2; В) 7; С) 11; D) 13; Е) 20.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ОЛИМПИАДЫ И ПОДГОТОВКИ К НЕЙ
1. Сколькими нулями оканчивается произведение натуральных чисел от 1 до 10 включительно?
Двумя нулями.
2. На какое число надо разделить разность наибольшего трехзначного числа и наибольшего двузначного числа, чтобы получить однозначное число?
(999 – 99) : 100 = 9.
3. Запишите трехзначное число, у которого каждая последующая цифра больше предыдущей в 2 раза.
Если первая цифра 1, то вторая – 2 , а третья – 4, все число 124. если первая цифра 2, то вторая 4, а третья 8, все число 248. Тройка первой цифрой быть не может, так как в этом случае третья цифра должна выражаться двузначным числом, чего быть не может.
4. Запишите трехзначное число, у которого каждая последующая цифра больше предыдущей в 3 раза.
Единственным числом, удовлетворяющим условию задачи, является число 139.
5. Можно ли число 10 представить в виде суммы двух таких слагаемых, одно из которых будет в несколько раз больше другого. Сколькими способами это можно сделать?
Двумя способами: 1 и 9, 2 и 8.
6. Два десятка умножили на три десятка. Сколько десятков получилось?
20 х 30 = 600 = 60 десятков.
7. К однозначному числу приписали такую же цифру. Во сколько раз увеличилось число?
Пусть 7 однозначное число. Припишем к нему такую же цифру (7). Получим – 77. 77 : 7 = 11.
 Пусть а – однозначное число. Если приписать такую же цифру, то получится двузначное число аа или 10а + а = 11а. Число увеличилось в 11 раз.
8. Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 5 и 0?
500, 505, 550, 555.
Выписаны подряд все числа от 1 до 99. Сколько раз написана цифра 3?
В разряде единиц цифра 3 встречается 10 раз: 3, 13, … , 93. В разряде десятков цифра 3 также встречается 10 раз: 30, 31, … , 39. Всего цифра 3 встречается 20 раз.
Цифра десятков в обозначении двузначного числа втрое больше цифры единиц. Если эти цифры переставить, то получится число меньше данного на 36. Найдите данное число.
Рассмотрим все двузначные числа, в которых число десятков втрое больше числа единиц. Это числа 31, 62 и 93. Других чисел нет. Остается переставить цифры и найти разность чисел. Она равна 36 только в случае 62 – 26. Таким образом, данное число равно 62.
Сумма двух чисел равна 135. Одно из чисел оканчивается цифрой 3. Если эту цифру зачеркнуть, то получится второе число. Найдите эти числа.
Неизвестные цифры числа обозначим как а и в. Тогда условие задачи можно записать следующим образом:
а в 3
а в
1 3 5
Получаем а = 1, тогда, в = 2, значит, были задуманы числа 123 и 12.
Какое двузначное число уменьшится в 15 раз от зачеркивания последней цифры?
Если после зачеркивания получилось число 1, то число, в 15 раз его больше, равно 15; число десятков двузначного числа совпадает с получившимся однозначным числом. Если бы после зачеркивания получилось число 2, то число, в 15 раз его больше, равно 30, эта пара чисел не подходит. Так же не получится и в случаях, когда после зачеркивания останется любая другая цифра, отличная от 1.Можно было рассуждать и иначе. Выпишем все двузначные числа, которые делятся на 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90. Разделим каждое из них на 15 и посмотрим, в каком случае частное будет равно числу десятков. В итоге получаем, что единственным таким числом является число 15.
Внимательно посмотрите, как построен каждый ряд чисел. Назовите еще по 3 числа: а) 3, 4, 7, 12, 19, 28, … ; б) 1, 3, 7, 13, 21, 31, … ; в) 1, 4, 9, 16, … ; г) 25, 24, 22, 19, 15, … ; д) 6, 11, 10, 15, 14, … .
а) Разности между соседними числами образуют ряд нечетных чисел 1, 3, 5, … ; б) разности между соседними числами образуют рад четных чисел 2, 4, 6, …; в) 1 · 1, 2 · 2, 3 · 3, …; г) числа уменьшаются на 1, на 2, на 3 и т.д.; д) число увеличивается на 5, затем уменьшается на 1.
14. Число яблок в корзине – двузначное. Яблоки можно разделить поровну между 2, 3 или 5 детьми, но нельзя разделить поровну между 4 детьми. Сколько яблок в корзине?
30 яблок.
15. Из следующих неверных равенств надо сделать верные равенства, переставляя только одну палочку: а) VI – IV = IX; б) VI – IV = XI; в) VI + IV = XII; г) X – IV = 1; д) VII = V – I.
а) V + IV = IX; б) VI + V = XI; в) VII + V = XII; VI + VI = XII; г) X – IX = I; д) VI = V + I.
16. Что это за число, на которое можно умножать и делить, но при этом множитель и делимое не изменяются?
1.
Что больше: сумма всех цифр или их произведение?
Сумма всех цифр больше, так как произведение всех цифр равно 0.
18. Что больше: сумма 9 слагаемых, каждое из которых равно 12 или сумма 12 слагаемых, каждое из которых равно 9?
Суммы одинаковые.
19. Степа Смекалкин задумал число. Потом он умножил это число на 19 и к произведению прибавил 19. У него получилось 19. Какое число он задумал?
Число 0.
20. Какое число при делении на 6, 9, 13 дает в частном нуль?
Это число 0.
21. Какие три равных числа при умножении дают единицу?
1 · 1 · 1 = 1.
22. В следующих равенствах поставьте скобки, чтобы получить верные равенства: а) 10 · 2 + 3 = 50; б) 19 · 2 + 3 = 95.
а) 10 · (2 + 3) = 50; б) 19 · (2 + 3) = 95.
23. Между цифрами 1, 2, 3, 4, 5 поставь знаки действий и скобки так, чтобы получилось: а) число 40; б) число 1; в) число 5; г) число 54; д) число 41; е) число 168.
а) (12 : 3 + 4) · 5 = 40; б) (1 + 23) : 4 – 5 = 1, (12 – 3) : (4 + 5) = 1; в) 1 + 2 + 3 + 4 – 5 = 5; г) 12 – 3 + 45 = 54; д) 12 + 34 – 5 = 41; е) 123 + 45 = 168.
Между цифрами 1 2 3 4 5 6 7 8 9 поставь знаки сложения так, чтобы получилось 99. Найди три способа решения.
1) 12 + 3 + 4 + 56 + 7 + 8 + 9 = 99; 2) 1 + 23 + 45 + 6 + 7 + 8 + 9 = 99; 3) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 99.
25. Учитель записал на доске 7 цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 – и попросил учеников, используя все данные цифры, записать четырьмя слагаемыми сумму, равную 100, причем каждую цифру употреблять только один раз. Например: 6 + 12 + 35 + 47 = 100.
45 + 16 + 37 + 2 = 100; 17 + 35 + 46 + 2 = 100; 47 + 36 + 15 + 2 = 100 и др.
26. Сумма трех чисел равна их произведению. Эти числа различные и однозначные. Найди эти числа.
1 + 2 + 3 = 1 · 2 · 3.
27. Сумма и произведение четырех чисел (не обязательно различных) равны 8. Что это за числа?
1 + 1 + 2 + 4 = 1 · 1 · 2 · 4.
28. Как можно записать число 1000: а) тремя десятками; б) пятью девятками; в) восьмью восьмерками; г) шестью тройками; д) семью единицами?
а) 10 · 10 · 10 = 1000; б) 9 : 9 + 999 = 1000; в) 888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000; г) 3 : 3 + 333 ·3 = 1000.); д) 1111 – 111 = 1000.
Имеется 6 палочек длиной по 1 см, 3 палочки – по 2 см, 6 палочек – по 3 см, 5 палочек – по 4 см. Можно ли из этого набора составить квадрат, используя все палочки, не ломая их и не накладывая одну на другую?
Нет. Сумма длин всех палочек равна 50, а у квадрата все стороны равны, поэтому периметр квадрата должен делиться на 4.
30. Как с помощью гирь в 1, 3, и 9 кг определить массу любого груза в пределах от 1 до 13 кг?
13 = 1 + 2 + 9; 12 = 3 + 9; 11 = 9 + 3 – 1; 10 = 9 + 1; 8 = 9 – 1; 7 = 9 + 1 - 3; 6 = 9 – 3; 5 = 9 – 1 – 3; 4 = 1 + 3; 2 = 3 – 1.
31. У хозяйки есть рычажные весы и гиря в 100 г. Как за 3 взвешивания она может отвесить 700 г крупы?
1) Взвешиваем 100 г крупы; 2) гиря + 100 г крупы = 200 г; 3) гиря + 100 г крупы + 200 г крупы = 400 г; 100 + 200 + 400 = 700 г.
32. Имеются 9 кг крупы и чашечные весы с гирями в 200 г и 50 г. Как отвесить 2 кг крупы за 3 взвешивания?
1) развешиваем 9 кг по 4 кг 500 г; 2) развешиваем 4 кг 500 г по 2 кг 250 г; 3) убираем 250 г из 2 кг 250 г.
33. Имеется 16 кг муки и несколько одинаковых по массе пустых мешков. Имеются весы, но нет гирь. Как, не имея гирь, взвесить 8 кг, 4 кг, 12 кг, 14 кг?
Так как гирь у нас нет, то мы можем развешивать муку на две равные части.
 16
8 8
4 4
2 2
8 + 4 = 12 кг;
12 + 2 = 14 кг.
34. Как при помощи весов без гирь разделить 24 кг пряников на две части – 9 кг и 15 кг?
24
12
6 6
3 3
12 + 3 = 15 кг;
6 + 3 = 9 кг.
35. – Который сейчас час? – спросил Саша у отца.
– А ты узнай сам; если пройдет столько часов, сколько прошло от начала суток и еще 2 часа, то кончатся сутки. Который час был тогда? 2
П ри решении задачи будем использовать графическую модель:
Запишем решение в виде выражения: (24 – 2) : 2 = 11 часов.
36. Сколько полных оборотов делает часовая стрелка: а) за неделю; б) за сентябрь месяц?
а) За неделю часовая стрелка сделает 14 полных оборотов; б) за сентябрь, т.е. за 30 дней – 60 оборотов.
37. Сколько времени пройдет, когда: а) часовая стрелка сделает 100 полных оборотов по циферблату; б) минутная стрелка сделает 96 полных оборотов?
а) 100 : 2 = 50 суток; б) 96 : 24 = 4 суток.
Может ли в одном месяце быть 5 воскресений?
Да, может. Если в месяце 31 день, то в нем 4 полных недели и еще 3 дня. Одним из этих дней может быть воскресенье.
Сколько всего воскресений может быть в году?
В году 365 дней. Узнаем, сколько это полных недель: 365 : 7 = 52 (ост. 1). Получаем, что в году 52 полные недели, и еще остается один день или два (если год високосный) дня. Этим днем может быть воскресенье, тогда в году будет 53 воскресенья.
У ежика было 3 целых яблока, 10 половинок, 8 четвертинок. Сколько это яблок?
10 яблок.
Один мальчик беседовал в парке со старушкой:
- Бабушка, сколько лет вашему внуку?
- Ему, милый, столько месяцев, сколько мне лет.
- Сколько же вам лет?
- Мне с внуком вместе 91 год. А уж, сколько лет внуку, сосчитай сам.
Сколько лет внуку?
Так как внуку столько месяцев, сколько лет бабушке, то делаем вывод, что бабушка старше внука в 12 раз. Примем за одну часть возраст внука, тогда возраст бабушки составит 12 таких частей. Представим решение задачи по действиям: 1) 1 + 12 = 13 (частей) – составляет возраст бабушки и внука; 2) 91 : 13 = 7 (лет) – внуку; 3) 7 · 12 = 84 (года) – бабушке. При решении можно воспользоваться и схематическим моделированием условия задачи.
42. У Пети две коробочки. В одну из них он спрятал новогодний подарок для папы. На первой коробке он написал: «Подарок здесь», на второй – «В этой коробке нет подарка». Папе он объяснил, что в одной из коробок лежит подарок, а надписи либо обе истинные, либо обе ложные. В какой коробке подарок?
Надписи не могут быть обе верными, так как это бы означало, что в коробках подарка нет, что противоречило бы условию. Значит, надписи ложные; тогда делаем вывод, что подарка в первой коробке нет, а значит, он во второй коробке.
43. У Маши разорвалась цепочка на 4 части, которые состояли из 8, 6, 2 и 18 звеньев. Желая ее восстановить, она обратилась в мастерскую. Мастер согласился отремонтировать цепочку, но предупредил, что за разъем и соединение одного звена мастерская берет 5 руб. У Маши было только 12 руб. Однако она подумала и попросила мастера соединить все 4 куска цепочки, но так, чтобы у Маши хватило денег расплатиться за работу. Как соединил звенья мастер?
Надо разъединить кусок из 2 звеньев и этими звеньями соединить остальные 3 кусочка цепочки.
44. Кузнецу принесли 5 обрывков цепи, по 3 звена в каждом, и попросили соединить в одну цепь. Кузнец выполнил заказ, раскрыв только 3 звена. Как он это сделал?
Надо раскрыть 3 звена одного обрывка цепи и этими тремя звеньями соединить оставшиеся 4 обрывка.
45. Я задумал число, прибавил к нему 2, умножил сумму на 2, произведение разделил на 3 и отнял от результата 4. Получилось 8. Какое число я задумал?
Задумано число 16. Необходимо выполнить действия в обратном порядке: (8 + 4) · 3 : 2 – 2 = 16 то есть решить уравнение (х + 2) · 2 : 3 – 4 = 8 методом решения с конца.
46. На расстоянии 5 м друг от друга в один ряд посажено 10 молодых деревьев. Найдите расстояние между крайними деревьями.
Так как деревьев 10, то промежутков между ними будет 9. Один промежуток составляет 5 м, значит между крайними деревьями будет 45 м.
47.Весной на пришкольном участке одна группа юннатов, измеряя длину своего участка, поставили 7 колышков через каждые 2 м, а другая, измеряя свой участок, поставили 13 колышков через каждый метр. У какой группы юннатов участок оказался длиннее?
Между семью колышками первой группы будет 6 промежутков, каждый из которых равен 2 м, т.е. расстояние от первого до последнего колышка будет равно 12 м. Между 13 колышками второй группы будет 12 промежутков, а так как расстояние между соседними колышками равно одному метру, то между крайними колышками будет также 12 м т.е. у обеих групп участки одинаковой длины.
48. Шнур длиной 24 м разрезали на равные части, сделав 3 разреза. Какова длина каждой части?
Если сделаем 3 разреза, то получим 4 части, каждая из которых равна 24 : 4 = 6 (м).
49. Пете необходимо пройти в 4 раза больше ступенек, чем Коле. Коля живет на третьем этаже. На каком этаже живет Петя?
Коля живет на третьем этаже, значит, ему, поднимаясь к себе, надо пройти 2 пролета, тогда Пете надо пройти 2 · 4 = 8 пролетов. Петя живет на 9 этаже.
Во сколько раз лестница на 4-й этаж школы длиннее лестницы на 2-й этаж?
В 3 раза.
51. Ваня с папой были в тире. Ваня выстрелил 5 раз. Затем папа разрешил за каждые 2 попадания в цель произвести еще 1 выстрел. Всего Ваня сделал 8 выстрелов. Сколько раз он попал в цель?
Ваня сделал 8 – 5 = 3 дополнительных выстрела. Так как дополнительный выстрел можно было сделать за 2 попадания, то это означает, что попаданий было всего 6.
52. Два брата собирали грибы. У них не было корзинки, и они нанизали на одну веточку 15 грибов, на другую – 27, на третью 18 и на четвертую – 12. По дороге домой они повстречали сестру, которая попросила их поделиться грибами, и тогда у каждого из братьев осталось по одинаковому числу грибов. Как они поделили грибы, не снимая их с веточек?
Всего братья собрали 15 + 27 + 18 + 12 = 72 гриба. Если сестре отдать 15 или 27 грибов, то останется нечетное число грибов, и разделить их поровну между братьями мы не сможем. Если они отдали сестре 18 грибов. То у них останется 72 – 18 = 54 гриба, т.е. по 27 грибов каждому. Если бы они отдали сестре 12 грибов, то останется 60 грибов, и их братья не смогли бы разделить поровну, не снимая их с веточек.
53. В книжном магазине надо упаковать несколько книг. Их меньше ста. Если их связывать по 3, по 4 или по 5, то всякий раз будет оставаться 1 книга. Сколько книг надо упаковать?
Если одну книгу убрать, то число книг будет делиться на 3, на 4 и на 5. Наименьшее число, обладающее таким свойством – это число 60. Значит, надо упаковать 61 книгу, 61 = 3 · 4 · 5 + 1.
54. Червяк ползет по стволу липы. Ночью он поднимается на 4 м вверх, а днем спускается на 2 м вниз. На восьмую ночь червяк достиг вершины дерева. Как высока липа?
За первые 7 суток червяк поднимается на 14 м, а за восьмую ночь – еще на 4 м. Всего он поднимается на 18 м.
55. Некто делал 3 шага вперед и 2 шага назад: так он продвинулся вперед на 20 шагов. Сколько всего шагов он сделал?
Не считая последние три шага, он должен продвинуться на 17 шагов. Но, чтобы ему продвинуться на 1 шаг вперед, ему необходимо сделать 5 шагов. Получается, что всего он сделал 5 · 17 + 3 = 88 (шагов).
56. Было 5 листов бумаги. Некоторые из них разрезали на 3 части. Получилось 11 кусочков. Сколько листов бумаги разрезали?
Прежде всего, заметим, что при разрезании кусочка бумаги на 3 части число листочков увеличивается на 2, так как был 1 листок, а стало 3. Узнаем, на сколько листочков стало больше: 11 – 5 = 6 (листочков). Узнаем, сколько листочков разрезали: 6 : 2 = 3 (листочка). Задачу также можно решить, выполнив рисунок: надо нарисовать 5 листочков и постепенно разрезать каждый на 3 части, считая каждый раз, сколько листочков получилось.
57. Малыш может съесть 600 г варенья за 6 мин, а Карлсон – в два раза быстрее. За какое время они съедят это варенье вместе?
1) 600 : 6 = 100 (г) – варенья съедает Малыш за 1 минуту; 2) 100 · 2 = 200 (г) – варенья съедает Карлсон за 1 мин; 3) 100 + 200 = 300 (г) – варенья съедает за минуту Малыш и Карлсон вместе; 4) 600 : 300 = 2 (мин) – за такое время они съедят варенье вместе.
58. На площадке играли 7 девочек и 2 мальчика. Сумма лет всех играющих составила 80. Все девочки были одногодки. Одного возраста были и мальчики. Когда в одну группу объединились 5 девочек, а в другую все остальные, то оказалось, что суммы числа лет играющих в одной и другой группах стали равными. Какого возраста были играющие?
1) 80 : 2 = 40 (лет) – сумма лет пяти девочек;
2) 40 : 5 = 8 (лет) – возраст одной девочки;
3) 8 · 7 = 56 (лет) – сумма лет всех девочек;
4) 80 – 56 = 24 (года) – сумма лет всех мальчиков;
5) 24 : 2 = 12 (лет) – возраст каждого мальчика.
59. Группа туристов из 80 человек отправилась в путешествие за границу. Из них 12 человек не владели иностранными языками, 34 человека умели говорить по-английски, а 49 знали французский язык. Сколько человек из этих туристов знали 2 иностранных языка?
Узнаем вначале, сколько человек владели иностранными языками: 80 – 12 = 68 (человек). Если мы сложим число человек, умеющих говорить по-английски и умеющих говорить по-французски, то людей, владеющих сразу двумя языками, мы посчитаем два раза. Поэтому, чтобы найти число человек, владеющих двумя языками, надо из получившегося числа вычесть число людей, владеющих языками: (34 + 49) – 68 = 15. Таким образом, двумя языками владели 15 человек.
60. Нужно рассадить 14 кустов роз вокруг квадратной клумбы так, чтобы на каждой стороне их было поровну.
Два куста из 14 сажаем по углам, а остальные 12 рассаживаем по три с каждой стороны.
61. Как расставить 9 стульев у четырех стен комнаты, чтобы у каждой стены стояло стульев поровну?
Ближайшее число, которое делится на 4, – это 12. Следовательно, не хватает трех стульев. Три стула ставим по углам комнаты.
62. К Незнайке на день рождения пришли Винтик, Шпунтик, доктор Пилюлькин, Пончик и Знайка. На десерт Незнайка вынес 10 пирожных. Как разделить пирожные поровну между друзьями, никого не обидев?
Каждый получит по 1 пирожное и еще 2/3 пирожного.
63. Как можно разрезать равносторонний треугольник: а) на 2 равных треугольника; б) на 3 равных треугольника; в) на 4 равных треугольника; г) на 6 равных треугольников.
а) б) в) г)
64. Мать для своих детей оставила дома конфеты. Первым пришел из школы брат, взял свою половину конфет и ушел гулять. Затем пришла сестра. Думая, что брат еще не брал конфет, она съела только половину оставшихся, после чего осталось еще три конфеты. Сколько конфет было вначале?
Запишем решение задачи в виде выражения: 3 · 2 · 2 = 12 (конфет.)
В ящике лежат несколько одинаковых по цвету лент следующих размеров: 50 см, 1 м, 3 м. Из ящика взяли 4 ленты. Есть ли среди взятых лент хотя бы две ленты одного размера?
Есть
Чтобы смонтировать новый забор, вкопали 20 столбов через каждые 2 метра. Определите длину забора.
38 м.
Рита, Юля и Нина выращивали на грядках: две капусту, одна морковь. Рита и Нина, Рита и Юля выращивали разные овощи. Кто из них выращивал морковь?
Рита
Мои часы отстают на 10 мин, но я считал, что они спешат на 5 мин. Часы моего друга Вани спешат на 5 мин, но он думает, что они отстают на 10 мин. Мы с Ваней договорились встретиться в 16 часов. Кто из нас придет к месту встречи первым?
Одновременно
На классной доске написано:
а) 1 2 3 = 1; б) 1 2 3 4 = 1.
Слева от знака равенства все знаки действий и скобки оказались стертыми. Восстановите скобки и знаки действий.
а) (1 + 2) : 3 = 1; б) 12 : (3 · 4) = 1.
Произведение двух чисел больше одного из них в 4 раза и больше другого в 5 раз. Чему равны множители и произведение?
4 · 5 = 20.
Чтобы подняться на каждый этаж дома надо пройти 30 ступенек лестницы. Сколько ступенек нужно пройти, чтобы подняться на 3 этаж?
60 ступенек.
Геологам надо разложить поровну в 4 рюкзака 8 камней, которые весят 1 кг, 2 кг, 3 кг, 4 кг, 5 кг, 6 кг, 7 кг, 8 кг. Как это можно сделать?
1 рюк.: 1 кг + 8 кг = 9 кг; 2 рюк.: 2 кг + 7 кг = 9 кг; 3 рюк.: 3 кг + 6 кг = 9 кг; 4 рюк.: 4 кг + 5 кг = 9 кг.
Чтобы смонтировать забор, вкопали 30 столбов через каждые 2 м. Половина забора была из дерева, а остальная часть из сетки. Сколько метров сетки потребуется для забора?
1) 29 · 2 = 58 (м) – длина забора; 2) 58 : 2 = 29 (м) – сетки.
Сколько всего трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3 при условии, что цифры в записи числа повторяться не будут? Перечислите все эти числа и найдите их сумму.
123, 132, 213, 231, 312, 321, сумма – 1332.
Какие три числа, в сумме и в произведении дают один и тот же результат? 1, 2, 3.
Ваня живет выше Пети, но ниже Саши, а Коля живет ниже Пети. На каком этаже 4-х этажного дома живет каждый из них?
Коля – 1 эт; Петя – 2 эт; Ваня – 3 эт; Саша – 4 эт.
Канат длиннее, чем веревка и чище, чем тесемка, но канат короче, чем тесемка и грязнее, чем веревка. Что самое короткое и что самое чистое?
Верёвка самая короткая и самая чистая.
Лиза, Галя и Нина жили в разных домах. Дом № 1 – высокий каменный, № 2 – высокий деревянный, № 3 – невысокий каменный. В каких домах жили девочки, если Галя и Нина жили в высоком, а Нина и Лиза в каменном.
Лиза – № 3 невысокий каменный; Галя – № 2 высокий деревянный; Нина – № 1 высокий каменный.
Сколько всего необходимо цифровых знаков, чтобы пронумеровать книгу, в которой 100 страниц?
192 цифровых знаков.
На вопрос учителя о том, кто разбил окно, ученики ответили так – Петя: «Окно разбил Толя, а не Дима», Дима: «Окно разбил Петя или Толя», Толя: «Окно разбил Дима». Учитель знал, что один из учеников солгал, а двое сказали правду. Кто разбил окно?
Толя
В кафе встретились 3 друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов. «Замечательно, что у одного из нас белые, у другого черные, а у третьего рыжие волосы, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии», – заметил черноволосый. «Ты прав», – сказал Белов. Какой цвет волос у художника?
Чёрный
Найти 3 последовательных натуральных числа зная, что если к 9 прибавить их среднее арифметическое, то получится 720.
710, 711, 712.
К вадрат разрезали на 4 равные части (рис. 4) и составили из них 2 квадрата. Как это сделали?
Ответ: ( )
Рис. 4
Из куска проволоки согнули квадрат со стороной 6 см, затем разогнули. Какова длина сторон треугольника?
8 см.
Квадрат со стороной 1 м разрезали на квадраты со стороной 1 см и выстроили их в ряд в виде полосы шириной 1 см. Какой длины получилась полоса?
100 м.
Шнур длиной 32 м складывали пополам, разрезали в месте сгиба до тех пор, пока не получили отрезки шнура, длиной 2 м. Сколько всего раз повторили эту операцию?
4 раза.
Винни-Пуху подарили на день рождения бочонок с медом массой 7 кг. Когда Винни-Пух съел половину меда, то бочонок весил уже 4 кг. Сколько кг меда было первоначально в бочонке?
6 кг.
Сергей ехал в школу на велосипеде. Занятия в школе начинаются в 9 часов. В 8 часов 40 мин он уже проехал половину пути. Если Сергей будет продолжать ехать с такой же скоростью, то он приедет в школу за 10 мин до начала занятий. Сколько минут он ехал в школу?
20 мин.
Вычислите удобным способом: 27+28+29+30+31+32+33
(27 + 33) + (28 + 32) + (29 + 31) + 30 = 210.
Замените буквы цифрами: 1 в в в – 1 = с с с.
в – о, с – 9.
На доске написано 99 чисел: 1, 2, 3, …, 98, 99. Сколько раз в записи встречается цифра 5?
20 раз.
Было 9 листов бумаги. Некоторые из них разрезали на 4 части. Всего стало 18 листов. Сколько листов бумаги разрезали?
3 листа.
Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые 4 места в соревновании. На вопрос, какие места они заняли, трое из них ответили так:
1) Коля занял не первое и не четвертое место;
2) Боря занял второе место;
3) Вова не был последним.
Какое место занял каждый мальчик?
Вова – 1 место, Боря – 2 место, Коля – 3 место, Юра – 4 место.
В семье четверо детей. Им по 5, 8, 13 и 15 лет, а зовут их Таня, Юра, Света и Лена. Сколько лет каждому из них, если одна девочка ходит в детский сад, Таня старше, чем Юра, а сумма лет Тани и Светы делится на 3?
Свете – 5 лет, Тане – 13 лет, Юре – 8 лет, Лене – 15 лет.
Маша, Даша и Таня читали вслух разные сказки: «Три Медведя», «Три поросенка», «Красная шапочка», Догадайтесь, кто какую сказку читал, если:
1) В Дашиной сказке нет волка;
2) В названии Машиной сказки нет цифр.
Маша – «Красная шапочка», Даша – «Три медведя», Таня – «Три поросёнка».
Коля, Вася и Боря играли в шашки. Каждый из них сыграл 2 партии. Сколько всего партий было сыграно?
3 партии.
97. Малярам нужно покрасить 6 дачных домиков для малышей детского сада (красят крышу, стены, дверь). У них есть синяя, голубая и белая краски. Могут ли маляры покрасить все дома по-разному, чтобы малыши по цвету узнали свой дом?
Да.
98. На прием к доктору Айболиту пришли Мартышка, Филин, Щука и Цапля. Доктор записал в карточку возраст каждого из них. Оказалось, что Цапля моложе Филина, Щука того же возраста что и Филин, а Мартышка старше Щуки. Кто моложе: Цапля или Щука? Кто старше всех?
Цапля моложе Щуки, Мартышка старше всех.
99. Расставьте в 4-х угольной комнате 4 стула так, чтобы у каждой стены стояло по 2 стула. Расставьте 7 или 8 стульев так, чтобы у каждой стены их было поровну.
Ответ:
100. В примерах на вычитание Незнайка перепутал знаки четырех арифметических действий, записав: 6 · 4 + 5 = 26
42 : 7 + 3 = 21
Запишите правильно примеры, используя те же числа.
6 + 4 · 5 = 26; 42 – 7 · 3 = 21.
101. Расположите в магическом квадрате пять чисел таким образом, чтобы сумма чисел по каждой вертикали, горизонтали и диагонали была одинакова.
102. Какое число обозначает каждая буква, если известно, что:
Т = О : 40;
К = А · 3;
О = К + А;
А = 280 : 7.
Т + О + Ч + К + А = 350;
Ответ:
103. Четыре брата Юра, Петя, Вова и Коля учатся в 1, 2, 3 и 4 классах. Петя учится только на «4» и «5», а младшие братья с него берут пример. Вова уже изучает историю, а Юра помогает решать задачи брату. В каком классе учится каждый из них?
Вова – 4 кл.; Петя – 3 кл.; Юра – 2 кл.; Коля – 1 кл.
104. Какие числа были заданы?
х = 7; у = 9.
105. Галя, Инна и Лиза приближаются к финишу в забеге на 60 метров. Сколько можно при этом составить вариантов завершения соревнования. Укажите возможность пересечения финишной линии в каждом случае, используя имена девочек.
а) Девочки пересекли финишную линию одновременно все трое; б) девочки пересекли финишную линию две одновременно и одна потом: ГИ-Л, ГЛ-И; ИГ-Л; ИЛ-Г, либо Л-ГИ, И-ГЛ, Л-ИГ,Г-ИЛ; в) девочки пересекли финишную линию все три в разное время: Г-И-Л, Г-Л-И, И-Л-Г, И-Г-Л, И-Г-Л, Л-Г-И, Л-И-Г.
106. Периметр четырехугольника составляет 18 см. Какой длины могут быть стороны четырехугольника, если они выражаются целыми последовательными числами?
3 + 4 + 5 + 6 = 18.
107. Таня живет на 2 этаже. Ваня в том же подъезде, но ему приходится подниматься по лестнице, на которой в 3 раза больше ступенек. Ступенек до подъезда и до 1 этажа нет. На каком этаже живет Ваня?
На 4 этаже.
108. Группа туристов состоит из 8 иностранцев. 6 человек говорят по-французски и 4 человека говорят по-английски, а несколько человек владеют обоими языками. Сколько человек говорят на двух языках?
2 человека.
109. Две сотни умножили на три десятка. Сколько десятков получилось?
60 десятков.
110. Инопланетяне сообщили жителям планеты Земля о том, что в их звездной системе существуют три планеты А, Б и В. Они живут на второй планете. Далее сообщение прервалось из-за помех, но было принято еще два сообщения, которые как установили ученые, оба были неверные:
А – не третья планета;
Б – вторая планета.
На какой планете (А, Б или В) живут инопланетяне?
На планете В.
111. Сколько всего двузначных чисел? Трехзначных чисел?
Двузначных – 90 чисел; трёхзначных – 900 чисел.
112. Сколько домом на одной стороне улицы от № 16 до №78 включительно?
32 дома.
113. Как число 4 можно записать тремя четверками, соединив их знаками действий?
4 + 4 – 4 = 4; 4 · 4 : 4 = 4.
114. Четыре фигурки: круг, треугольник, квадрат и полукруг жили по одному в четырех разных домиках. Первый домик был с круглым окном и без трубы, второй с квадратным окном и с трубой, третий – с круглым окном и с трубой, четвертый – с квадратным окном, но без трубы. Круг и треугольник жили в домиках с трубой, треугольник и полукруг жили в домиках с квадратным окном. В каком домике жила каждая фигура?
Квадрат жил в первом домике (с круглым окном, но без трубы). Треугольник жил во втором доме (с квадратным окном и с трубой). Круг жил в третьем доме (с круглым окном и с трубой). Полукруг – в четвертом доме (с квадратным окном и без трубы).
115. Найти трехзначное число, зная, что сумма цифр равняется 15, а разница между числом, записанным в разряде сотен и в разряде десятков равна разнице чисел записанных в разряде десятков и единиц. Найди все варианты.
951, 852, 753, 654, 555.
116. Умер отец. Приехали его двое сыновей и принялись делить наследство. В завещании значилось: «Старшему сыну – половину всех коней, младшему – третью часть, доброму человеку – один конь». Но коней то всего 5. Получается деление с остатком: старшему 2 коня и еще полконя, а младшему и того хуже – больше одного коня. Что-то напутал старик! Ссорятся братья. Каждый требует уступить свою долю в его пользу. Совсем уже было подрались братья. Но в это время на коне проезжал Штефан Мудрый:
Мир вам, о, юные и благонравные! Поведайте мне, что за жаркий спор затеяли вы?
Перебивая друг друга, братья рассказали в чем дело. Штефан Мудрый внимательно выслушал их. Затем он задумался и, наконец, произнес:
Что ж, попытаемся вам помочь… И он нашел выход, совершив дележ строго по завещанию.
Братья получили целых коней, причем в количествах больших, чем предполагали ранее. Долго благодарили они Штефана Мудрого, кланяясь ему. А Штефан Мудрый сел на своего коня и продолжил путь, прерванный спором братьев.
Ребята, разберитесь, в чем дело? Каким образом был совершен дележ согласно завещанию?
Штефан Мудрый сообразил, что коней должно быть не 5, а 6. По-видимому, в период между составлением завещания и приездом братьев один из коней сдох. Тогда Штефан Мудрый помог братьям, следующим образом: он подарил братьям своего коня – его присоединили к наследству. Старший брат получил половину наследства: (5 + 1) : 2 = 3 коня. Младший – третью часть: (5 + 1) : 3 = 2 коня. Остался один конь: 6 – (3 + 2) = 1. Этот конь и перешел обратно к Штефану Мудрому согласно завещанию.
117. Два рыбака решили сварить на костре уху вместе. Первый дал 2 окуня, а второй –1. Вес каждого окуня 400 г. На уху подоспел охотник, которой внес свою долю деньгами – дал 60 рублей. Как эти деньги должны поделить между собой рыбаки?
Деньги должен забрать первый рыбак, так как на каждого приходилось по одной рыбе, а второй рыбак съел своего окуня.
118. – Какой улов был вчера?, спросил один рыбак другого.
– 9 линей и окуней. Причем линей в два раза больше! А у тебя?
– А у меня улов почти такой же, только окуней в два раза больше.
Попробуйте ответить на вопрос, сколько окуней у этих рыбаков?
3 окуня, 5 окуня.
119. Семь рыбаков ловили рыбу на озере. Первый рыбачил каждый день, второй – через день, третий – через два дня и т. д. Седьмой же рыбачил через шесть дней. Сегодня все рыбаки на озере. Через сколько дней все семь рыбаков соберутся на озере снова?
Через 420 дней.
120. Три приятеля увлекались плаванием. Первый тренировался регулярно через 3 дня, второй – через 4, а третий – через 5 дней. В те дни, когда не было тренировок, они вместе выходили на прогулку. Какое наибольшее число дней подряд они гуляли вместе?
3 дня.
121. На вопрос, сколько ему лет один любитель занимательных задач ответил: «Возьми три раза мои годы вместе с тремя и вычтите из них три раза мой возраст без трех лет – получите мой возраст». Сколько лет этому человеку?
Задачу можно решить, моделируя условие задачи:
 3
3
3
Ответ:
(3 + 3) ·3 = 18 (лет) 3
 3
3
122. В одной бочке сок, а в другой – столько же воды. Из первой бочки взяли 1 л сока и перелили в бочку с водой. После этого 1 л образовавшейся смеси перелили обратно в бочку с соком. Чего больше воды в первой бочке или сока во второй?
После двух переливаний в бочках жидкости будет поровну. В результате переливаний сок, который оказался во второй бочке, заменяет такое же количество воды, которая перелита в первую бочку. Значит, сока во второй бочке столько, сколько воды в первой.
123. На сколько: а) наибольшее четырехзначное число больше наименьшего четырехзначного; б) наибольшее пятизначное число больше наименьшего пятизначного; в) наибольшее шестизначное больше наименьшего пятизначного?
а) 9 999 – 1 000 = 8 999; б) 99 999 – 10 000 = 89 999; в) 999 999 – 10 000 = 989 999.
Сложили 111 тысяч, 111 сотен и 111 единиц. Что за число получилось?
122 211.
Взяли четырехзначное число, прибавили к нему 1 и получили пятизначное. Какое число взяли?
9 999.
126. Сколько получится, если сложить числа: наименьшее двузначное, наименьшее трехзначное и наименьшее четырехзначное?
10 + 100 + 1 000 = 1 110.
127. а) На сколько единиц наименьшее четырехзначное число больше наименьшего трехзначного числа?
б) Во сколько раз первое из них больше, чем второе?
в) На сколько единиц больше число, записанное пятью единицами шестого разряда, чем число, записанное пятью единицами четвертого разряда?
а) 1 000 – 100 = 900; б) 1 000 : 100 = 10; в) 500 000 – 5 000 = 495 000.
128. В числе 62 317 зачеркните одну цифру так, чтобы оставшееся число было: а) наименьшим из возможных; б) наибольшим из возможных. Переставлять цифры нельзя.
а) 2 317; б) 6 317.
129. В числе 5 236 845 зачеркните три цифры так, чтобы оставшееся число было: а) наименьшим; б) наибольшим.
а) 2 345; б)6 845.
130.Напишите наибольшее десятизначное число, у которого все цифры различны.
9 876 543 210.
131. Напишите наименьшее десятизначное число, у которого все цифры различны.
1 023 456 789.
132. Что произойдет с числом, если к нему: а) приписать 3 нуля справа; б) три нуля слева; в) прибавить три нуля?
а) Увеличится в 1000 раз; б) не изменит своей величины, а изменит только форму; нули слева ставят, например, в номерах лотерейных билетов; в) не изменится.
133. Сколько в десятичной системе счисления однозначных, двузначных, трехзначных, четырехзначных чисел?
Однозначных чисел 9, двузначных – 90. Чтобы это узнать, надо из однозначных и двузначных чисел удалить однозначные числа: 99 – 9 = 90. Трехзначных чисел: 900 = 999 – 99. Четырехзначных чисел: 9 000 = 9 999 – 999.
134. Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 99.
В этом ряду будет 49 пар чисел, сумма которых равна 100. Это 1 + 99, 2 + 98 и т.д. И еще остается без пары число 50. Получаем: 100 · 49 + 50 = 4950.
135. Все натуральные числа записаны подряд, начиная с единицы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …. Не выписывая чисел, сделайте нужные расчеты и ответьте на следующие вопросы:
а) Сколько понадобится цифр, чтобы записать все числа от 1 до 99 включительно?
б) Сколько понадобится цифр, чтобы записать все однозначные, двухзначные и трехзначные числа?
а) 9 + 2 · 90 = 189; б) 9 + 2 · 90 + 3 · 900 = 2 889.
136. Сколько потребуется цифр для нумерации 18 листов тетради, начиная с первой?
9 + 2 · 9 = 27 цифр.
137. Сколько потребуется цифр для нумерации 150 страниц книги?
Для записи однозначных чисел потребуется 9 цифр, для записи двузначных – 2 · 90 = 180 цифр, для записи трехзначных чисел до 150 включительно – 3 · 51 = 153 цифры. Таким образом, всего потребуется 342 цифры.
138. Для нумерации страниц книги понадобилось 315 цифр. Сколько страниц в книге?
Решение: для записи однозначных чисел потребуется 9 цифр, для записи двузначных – 2 · 90 = 180 цифр, т.е. для записи однозначных и двузначных чисел потребовалось всего 189 цифр. Остается 315 – 180 = 135 цифр, которыми можно записать 45 трехзначных чисел. Сорок пятое трехзначное число – это число 144, значит, в книге 144 страницы.
139. Какая цифра стоит в натуральном ряду на 7-м месте; на 13-м месте; на 35-м месте; на 120-м месте?
На 7-м месте стоит цифра 7. Узнаем, какая цифра будет стоять на 13-м месте. Для записи однозначных чисел требуется 9 цифр, значит, на 13-м месте будет стоять двузначное число. Будет записано 13 – 9 = 4 двузначных числа, это числа 10 и 11, следовательно, на 13-м месте будет стоять цифра 1. На 120-м месте будет также стоять цифра двузначного числа, так как для записи всех двузначных чисел потребуется 189 цифр. Как мы уже выяснили, для записи однозначных чисел требуется 9 цифр, тогда оставшиеся 111 цифр будут использованы для записи двузначных чисел. Этими цифрами можно записать 55 двузначных чисел и первую цифру 56-го двузначного числа. Таким числом будет число 65, поэтому на 120-м месте будет стоять цифра 6.
140. Замени звездочки цифрами: * * * * – 1 = * * *.
1 000 – 1 = 999.
141. 30 учащихся школы ездили на автобусе на экскурсию. Анне достался первый автобусный билет, номер которого 189990. Есть ли еще среди учащихся те, кому достался билет, в номере которого сумма трех первых цифр тоже равна сумме трех последних цифр?
Да, среди учащихся найдется еще один человек, которому достанется такой билет. Следующий билет, обладающий таким же свойством, имеет номер 190 019; 190 019 – 189 990 = 29. Тридцатый учащийся станет обладателем этого билета.
142. Из книги выпало несколько листов. Первая выпавшая страница имеет номер 213, а номер последней страницы изображается теми же цифрами, но в обратном порядке. Сколько листов выпало из книги?
312 это номер последней выпавшей страницы. Среди 312 страниц первые 212 остались в книге, т.е. выпало 312 – 212 = 100 страниц, что составляет 50 листов.
143. Мальчик говорит своему приятелю: «Я подсчитал, что для того, чтобы пронумеровать все страницы вот этой маленькой книжки, начиная с первой ее страницы, потребовалось ровно 100 цифр». Не можете ли вы, не видя самой книжки, проверить, правильно ли подсчитал мальчик число цифр? Известно, что все страницы в книге пронумерованы.
Для записи однозначных чисел потребовалось 9 цифр, остается 91 цифра. Остальные числа для нумерации страниц будут двузначными, но 91 на 2 не делится, поэтому мальчик ошибся.
144. В четырехзначном числе вторая цифра 0. Если записать цифры в обратном порядке, то получится другое четырехзначное число, которое в 9 раз больше первого числа. Найдите первое число.
Данное число в 9 раз меньше некоторого четырехзначного числа. Следовательно, первая цифра 1. отсюда последняя цифра 9. Подбором можно убедиться, что предпоследняя цифра 8. получаем число 1089.
145. Во сколько раз число, содержащее 7 единиц пятого разряда, больше числа, содержащего 7 единиц второго разряда?
70 000 : 70 = 1 000 (раз).
146. И сказал Кощей Ивану-царевичу: «Жить тебе до завтрашнего утра. Утром появишься пред мои очи, задумаю я цифры а, в, с. Назовешь ты мне три числа х, у, z. Выслушаю я тебя и скажу, чему равно значение выражения ах + ву + сz. Тогда отгадай, какие числа а, в, с я задумал. Не отгадаешь – голову с плеч долой».
Запечалился Иван-царевич, пошел думу думать. Попробуйте ему помочь.
Ивану-царевичу надо назвать числа 100, 10, 1, тогда значением выражения ах + ву + сz = а · 100 + в · 10 + с будет трехзначное число с цифрами а, в, с. Задуманные Кощеем числа будет легко отгадать.
147. В следующих числовых рядах числа записаны в определенной закономерности, в каждом ряду – своя закономерность. Установите ее и запишите еще по три числа: а) 19, 20,22, 25, 29, …; б) 5, 8, 14, 26,50, …; в) 901, 802, 703, …; г) 101, 1002, 10003, …; д) 7, 67, 567, …
а) Число увеличивается на 1, затем на 2, на 3 и т.д.; б) каждое следующее число получается так: предыдущее число увеличивается в 2 раза и из результата вычитается 2; в) цифра разряда сотен уменьшается на 1, а цифра разряда единиц увеличивается на 1; г) добавляется один ноль и последняя цифра увеличивается на 1; д) увеличивается число разрядов, причем каждый раз слева приписывается цифра, на 1 меньше самой левой цифры предыдущего числа.
148. Расшифруйте:
* 2 *
* 7
* * *
* * * *
* * * * 8
Последняя цифра первого неполного произведения 8, поэтому последняя цифра первого множителя равна 4. Произведение первого множителя на 7 – число трехзначное, следовательно, первая цифра первого множителя 1 (224 х 7 = 1 568 – число четырехзначное). При умножении этого же числа на цифру десятков второго множителя – число четырехзначное, значит, эта цифра должна быть больше 7 – это 8, или 9. проверяем: 124 х 9 = 1 116, а 124 х 8 = 992, поэтому первая цифра второго множителя может быть равна только 9. Выполнив столбиком, умножение числа 124 на 97, найдем значение оставшихся цифр.
149. Расшифруйте:
ТРИ + ТРИ + ТРИ = ДЫРА
(при условии, что (Ы + Ы) : Ы = Ы.
Рассмотрим вначале условие; получим: 2Ы : Ы = 2, следовательно, Ы = 2. Запишем пример столбиком.
|
