23. Справка: собственные векторы и собственные значения линейного преобразования.
В теории линейных преобразований часто используется понятие собственного вектора. Ненулевой вектор х линейного пространства называется собственным вектором относительно линейного преобразования А, если Ах = kх, где k- некоторое число. Число k называется собственным значением (числом) собственного вектора х для линейного преобразования А. Собственное значение собственного вектора х определяется однозначно. Действительно, предположим, что собственному вектору х соответствует два
различных собственных значения k и k1 , тогда из равенства kх = k1х следует, что
(k-k1)х = 0 ,но по определению собственный вектор не равен нулю, т. е. х 0, поэтому
k = k1. Матрица вида
А –kЕ = 
называется характеристической матрицей матрицы А. Определитель характеристической матрицы А – kЕ называется характеристическим многочленом матрицы А. Корни характеристического многочлена матрицы называются характеристическими числами этой матрицы .
24 EIG .Собственные значения и собственные векторы символьной матрицы. Функция lambda = eig (A) формирует вектор lambda собственных значений символьной матрицы А. Функция[V,D] = eig(A) возвращает матрицу первых собственных векторовV и диагональную матрицу собственных значений. Если размер матрицы V совпадает с размером матрицы А, то А имеет полную систему независимых собственных векторов и выполняется спектральное разложение A*V = V*D . Функция [V,D,p] = eig(A) возвращает также вектор индексов р, длина которого равна количеству линейно независимых векторов, так что выполняется условие A*V = V*D(p,p).Функция lambda = eig (vpa(A)) и [V,D] =eig (vpa(A)) вычисляет числа собственных значений и собственных векторов с переменной точностью. Если матрица А не имеет полной системы собственных векторов, то столбцы матрицы будут линейно зависимы.
Пример:
» R =sym (rosser) , где rosser – матрица Рессера в программе MATLAB .
R =
[ 611, 196, -192, 407, -8, -52, -49, 29]
[ 196, 899, 113, -192, -71, -43, -8, -44]
[ -192, 113, 899, 196, 61, 49, 8, 52]
[ 407, -192, 196, 611, 8, 44, 59, -23]
[ -8, -71, 61, 8, 411, -599, 208, 208]
[ -52, -43, 49, 44, -599, 411, 208, 208]
[ -49, -8, 8, 59, 208, 208, 99, -911]
[ 29, -44, 52, -23, 208, 208, -911, 99]
» eig (R )
ans =
[ 0]
[ 1020]
[ 510+100*26^(1/2)]
[ 510-100*26^(1/2)]
[ 10*10405^(1/2)]
[ -10*10405^(1/2)]
[ 1000]
[ 1000]
eig (vpa(R))
ans =
[ -1020.0490184299968238463137913055]
[ .56512999999999999999999999999800e-28]
[ .98048640721516997177589097485157e-1]
[ 1000.0000000000000000000000000002]
[ 1000.0000000000000000000000000003]
[ 1019.9019513592784830028224109024]
[ 1020.0000000000000000000000000003]
[ 1020.0490184299968238463137913055]
25 . СПРАВКА: понятие о канонической форме Жордана.
Не всякую матрицу можно привести к диагональному виду линейным преобразованием. Удобно выделить класс матриц простейшего вида, к которому можно было бы привести путем некоторых линейных преобразований любую матрицу. Рассмотрим квадратную матрицу размера n n, элементы главной диагонали которой равны числу k0, элементы
ai i+1 (i =1,2,…, n-1) – единицы, а все остальные элементы – нули. Такая матрица называется клеткой Жордана порядка
 N,отвечающей собственному значению k0 .
Жордановой матрицей называется клеточно – диагональная матрица, в которой
на главной диагонали стоят клетки Жордана,
а элементы вне этих клеток равны нулю .   | 3 | | 1 | -
клетки Жордана .Таким образом всякой числовой матрицы А существует подобная ей Жорданова матрица J, т.е. существует такая невырожденная матрица С , что J = C-1 A C . Следует заметить, что одному и тому же собственному значению может соответствовать несколько клеток Жордана различного размера. Матрицы записанные в жордановой форме используются при решении систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами .
|
