18.RANK . Ранг целочисленной матрицы A .
пример: возьмем выше рассмотренную матрицу ||A||
» rank ([2 -4 3 1 0; 1 -2 1 -4 2; 0 1 -1 3 1; 4 -7 4 -4 5])
ans =
3
19 .COLSPACE. Базис пространства столбцов целочисленной матрицы
Функция B=colspace(A) формирует матрицу, столбцы которой являются базисом пространства целочисленной матрицы А. Количество столбцов равно рангу матрицы А.
» B = colspace(sym(magic(4))) , где magic(4)- магический квадрат, введенный в MATLAB.
B =
[ 1, 0, 0]
[ 0, 1, 0]
[ 0, 0, 1]
[ 1, 3, -3]
20.NYLL . Нуль – пространство для целочисленной матрицы
Функция Z = null(A) формирует матрицу, столбцы которой являются базисом Нуль – пространства целочисленной матрицы А. Количество столбцов матрицы Z определяет размерность нуль – пространства. Произведение А*Z = 0. Если матрица А имеет полный ранг, то Z –пустая.
Пример:
A = sym(magic(4));
» Z = null(A)
Z =
[ -1]
[ -3]
[ 3]
[ 1]
21.INV. Обращение символьной или целочисленной матрицы.
Функция R = inv(A) формирует матрицу, обратную матрице А.
Пример: выполним обращение целочисленной матрицы
» A = sym([2,-1,0; -1,2,-1; 0,-1,2])
A =
[ 2, -1, 0]
[ -1, 2, -1]
[ 0, -1, 2]»
» inv(A)
ans =
[ 3/4, 1/2, 1/4]
[ 1/2, 1, 1/2]
[ 1/4, 1/2, 3/4]
22. SVD. СПРАВКА. Сингулярное разложение символьной или целочисленной матрицы.
В евклидовом пространстве для линейного преобразования А существует сопряженное преобразование А’, описывающее отображения, сопряженные заданному линейному отображению одного линейного пространства в другое. Рассмотрим отображение
А: Еn Е m, где Еn и Еm –евклидовы пространства, и введем определения. Первым сингулярным базисом отображения А называется ортонормированный базис в Еn, состоящий из собственных векторов преобразования А’ А, если векторы базиса упорядочены так, что соответствующие собственные значения не возрастают 1 n. Таким образом, если r = Rg A, то i 0 при i r и j = 0 при j r. Пусть e1,…,en- первый сингулярный базис А. Тогда (А(еi),А(еj)) = (А’А(еi), еj) = i(еi, еj). Отсюда следует, что векторы А(еi) попарно ортогональны и |A(ei)| =  .Отсюда следует, что векторы А(еi) 0 при i r и А(еi) = 0 при i r . Числа  i = , где i – собственные преобразования А’A, называются сингулярными числами отображения А, а также сингулярными числами матрицы этого отображения. При i r векторы 1/i A(ei) образуют ортонормированную систему в Еm. Дополнив ее до ортонормированного базиса f в Еm cделаем определение:
вторым сингулярным базисом отображения А является ортонормированный базис f в Еm , первые r векторов которого имеют вид 1/i А(еi), i = 1,…,r, где е1…,еn – первый сингулярный базис , а r = RgA. Из определений видно ,что сингулярные базисы определены неоднозначно. Теорема (приводится без доказательства): в паре сингулярных базисов отображения А
Матрица этого отображения имеет вид:
А = 
Здесь Dr–квадратная диагональная матрица порядка r c числами i на диагонали, а остальные элементы А равны нулю. Теорема (приводится без доказательства): произвольная матрица размеров m n. Может быть разложена в произведение GAP,где G и P – ортогональные матрицы, А – выше приведенная матрица. Это разложение называется сингулярным.
Функция sigma = svd(A) формирует вектор сингулярных чисел символьной матрицы А. Функция sigma = svd(vpa(A)) вычисляет численное значение вектора сингулярных чисел матрицы А, используя вычисления с заданной точностью по программе, устанавливающей количество (d) значащих цифр результата digits (d) .
Функции [U,S,V] = svd(A) и [U,S,V] = svd(vpa(A)) вычисляют такие унитарные матрицы U и V, а также диагональную матрицу S, содержащую сингулярные числа, что выполняется разложение A = U*S*V. Такие разложения выдаются только в численном виде.
Пример: digits(4)
» A =sym(magic(4))
A =
[ 16, 2, 3, 13]
[ 5, 11, 10, 8]
[ 9, 7, 6, 12]
[ 4, 14, 15, 1]
» svd(A)
ans =
[ 0]
[ 34]
[ 2*5^(1/2)]
[ 8*5^(1/2)]
» svd(vpa(A))
ans =
[ .3108e-6*i]
[ 4.472]
[ 17.89]
[ 34.00]
» [U,S,V] = svd(A)
U =
[ -.5000, .6708, .5000, -.2236]
[ -.5000, -.2236, -.5000, -.6708]
[ -.5000, .2236, -.5000, .6708]
[ -.5000, -.6708, .5000, .2236]
S =
[ 34.00, 0, 0, 0]
[ 0, 17.89, 0, 0]
[ 0, 0, 4.472, 0]
[ 0, 0, 0, .8346e-15]
V =
[ -.5000, .5000, .6708, -.2236]
[ -.5000, -.5000, -2236, -.6708]
[ -.5000, -.5000, .2236, .6708]
[ -.5000, .5000, -.6708, .2236]
|
