Авторы: Серова Анастасия
Доманина Виктория
Учебно-исследовательская работа на тему:
Магические квадраты.
Руководитель: Николенко Антонина Владимировна
Россия, г. Москва
ГБОУ СОШ №2100
10 класс
Оглавление:
Введение………………………………………………………………….......…...3
1. История появления и развития теории магических квадратов ……….........6
2. Исторически значимые магические квадраты……………………...……....9
3. Теоретический материал…………………………………………..................11
Результаты проделанной работы. Заключение……………………………………………………………................15
Список литературы ..............................................................................................16
Приложение №1 "Методы составления магических квадратов"…………….17
Приложение №2 "Разнообразие магических квадратов"..................................21
Введение.
Великие учёные древности считали количественные отношения основой сущности мира. Поэтому числа и их соотношения занимали величайшие умы человечества. «В дни моей юности я в свободное время развлекался тем, что составлял … магические квадраты» – писал Бенджамин Франклин. Некоторые выдающиеся математики посвятили свои работы магическим квадратам и полученные ими результаты оказали влияние на развитие групп, структур, латинских квадратов, определителей, разбиений, матриц, сравнений и других нетривиальных разделов математики.
Актуальность выбранной проблемы: Предлагаемая вниманию тема "Магические квадраты" посвящена сравнительно специальному вопросу, стоящему довольно далеко от магистральной линии развития математической науки.
Актуальность выдвинутой нами проблемы заключается в привлечении учащихся к решению нестандартных задач, которые часто можно встретить в современных учебниках по математике. Мы считаем, что магический квадрат является одной из наиболее интересных головоломок.
Учение о магических квадратах занимало в математике значительное место лишь в тот период, когда в качестве основных "приложений" математики фигурировали числовые суеверия и астрология; в дальнейшем при возникновении новых, более серьёзных "потребителей" математики выяснилось, что для решения соответствующих естественнонаучных и технических задач теория магических квадратов не нужна. С тех пор она стала рассматриваться лишь в качестве одного из математических курьёзов.
Но тем не менее, данная область изучения имеет первооткрывателей и последователей теории. Учение о магических квадратах до сих пор может представлять интерес для любителей математики, в силу изящности построений и простоты и наглядности задач.
План графика работы над работой
Вид деятельности
|
Сроки
|
Задачи
|
Изучение информации:
а) история создания магического квадрата;
б) исторические важные магические квадраты;
в) формулы для создания магического квадрата и связанные с этим формулы для вычисления
|
Сентябрь-октябрь
|
Прочтение информации, выделение для себя наиболее подходящей и наиболее интересной информации
|
Сбор информации, представление ее в более удобном для использования формате.
|
Ноябрь
|
Создание чернового варианта работы, в последствии, который будет являться вспомогательным
|
Постановка целей и задач, на основе собранной информации
|
Декабрь
|
Выявление задач, целей, прогнозирование работы
|
Составление алгоритма для построения магического квадрата, тестирование учеников на возможность его построения
|
Декабрь-январь
|
Представление алгоритма в виде последовательности действий; выявить процент учащихся, выполнивших задание
|
Работа над проектом в электронном виде
|
Январь
|
Составление документа в Microsoft Office Word
|
Создание наглядного пособия
|
Февраль
|
Работа над презентацией в Microsoft Office PowerPoint
|
Объект исследования: магические квадраты.
Предмет исследования: процесс развития теории магических квадратов, свойства, методы составления магических квадратов..
Проблема: В современном мире от мистики уже давно отказались, но так и не отказались от теории магических квадратов, которая теперь нашла своё новое применение в науке и обучении. Почему этот математический конкурс до сих пор находит применение в нашей жизни? В чем особенность этих магических квадратов?
Цель: изучить предмет исследования, их свойства, рассмотреть способы их применения в жизни человека.
Задачи: определить свойства магических квадратов, рассмотреть возможные сферы их применения на практике, создание упрощенного алгоритма построения магического квадрата (сделать это максимально возможным для всех).
Гипотеза: изучение свойств магических квадратов позволит определить общие способы их построения. На сегодняшний день важно рассмотреть теорию магических квадратов в других возможных аспектах с целью поиска ещё не активизированных способов её применения.
Работа представляет собой достаточно серьёзное изложение общих методов построения магических квадратов. Несмотря на эту несколько "легкомысленную" тему, всё изложение построено весьма тщательно и "математично". В работе были использованы труды нескольких авторов, справочников и пособий, методический материал, сведения, полученные из Интернета. Работа выполнена сравнительно-литературным способом.
1. История появления и развития теории магических квадратов
Мы не знаем страну, в которой были придуманы магические квадраты, не знаем век (и даже тысячелетие), в котором они были впервые составлены. Известно только, что они появились задолго до эры вульгарис, и их родиной был Древний Восток. В Китае и Индии магические квадраты были известны ещё за 4-5 тысяч лет до нашей эры. В Индии разработка математической теории построения магических квадратов достигла значительных успехов, в частности, там знали общий метод построения магических квадратов при любом нечётном n.
Из Индии сведения о магических квадратах пришли к арабам. Первый магический квадрат с тремя клетками в основании был описан в арабском манускрипте конца восьмого века, где упоминался его автор - греческий философ-неопифагореец Аполлоний Тианский, живший в начале эры вульгарис. Однако не он был создателем этого древнейшего из всех магических квадратов. Аполлоний лишь вновь открыл то, что было известно за много веков до него.
Через арабов магические квадраты становятся известными в Греции и Византии. По-видимому, первое сочинение о магических квадратах было написано византийским грамматистом и лексикографом Мануэлем Мосхопулосом (XIII-XIV вв.). В трактате "Наставление по нахождению числовых квадратов" (примерном 1300 г.). Он изложил правила их построения для n = 2k + 1 и n = 4k, пользуясь циклическими перествками, называя их "как бы обходящими кругами".
За работой Мосхопулоса последовали труды сотен математиков, в том числе крупнейших ученых, основоположников современной науки (Гаусс, Эйлер, Ферма Штифель, Баше, Паскаль, Бесси.).
Наконец, под влиянием арабских и персидских трактатов числовая магия проникает в средневековую Западную Европу.
В начале XVI в. магический квадрат появился в искусстве.
Вот один из древнейших памятников почти 2000-летней давности.
Рис. 1 (талисман Юпитера)
В Европе этот квадрат с магическим числом 34 был долго неизвестен. В начале XVI века о нём узнал знаменитый немецкий художник Альфред Дюрер (1471 – 1528 гг.). Он был им так очарован, что даже воспроизвёл его, правда, в несколько изменённом виде, в одной из своих гравюр («Меланхолия», 1514 г.). Говорят, что гравюра А. Дюрера послужила толчком для знаменитых пророчеств его современника Мишеля Нострадамуса (1503- 1566).
С глубокой древности и до наших дней сохранилось поверие о том, что люди разного темперамента находятся под влиянием различных планет. Сангвиникам покровительствуют планеты Юпитер и Венера, холерики находятся под влиянием Марса, флегматики направляются Луной, а меланхолики - Сатурном. Каждой планете, Солнцу и Луне астрологи приписывали магический квадрат определённого порядка: Сатурну - третьего, Юпитеру - четвёртого, Марсу - пятого, Солнцу - шестого, Венере - седьмого, Меркурию - восьмого, Луне - девятого. Уже в 1533 г. немецкий гуманист Генрих Корнелий Агриппа (1486 – 1535 гг.) из Неттенхейма в своём сочинении «О сокровенной философии» описал семь магических квадратов, имеющих в основании 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 клеток. Число квадратов было выбрано равным числу птолемеевых планетных сфер. Агриппа назвал эти квадраты «планетарными таблицами». Он не дал никакого способа построения этих таблиц, но советовал гравировать их на пластинках или дисках из различных металлов и носить на себе как амулеты.
Однако, помимо мистического смысла учёные стали анализировать их математически. В сочинении немецкого математика Штифеля «Полная арифметика», вышедшем в 1544 г., указывается, что некоторые магические квадраты обладают чудесными и дополнительными свойствами, а именно, у них может быть выведена срединная часть, которая также является магическим квадратом.
Это был первый случай анализа математической формы магических квадратов. На этом исследования не завершились и о математических квадратах ещё писали такие математики, как Баше де Мезириак (1581 - 1683 гг.), Блез Паскаль (1623 - 1662 гг.), Пьер Ферма (1601 - 1665 гг.), Френикль де Бесси (1602 - 1675 гг.), Антуан Арно (1662 - 1694 гг.), Симон де Лялюбер.
Начиная с Пьера Ферма, Френикля де Бесси и их современников, сочинения о магических квадратах теряют не только свой мистический характер, но и развлекательный. Теория магических квадратов развивается одновременно с развитием общей теории чисел и становится её ответвлением. Ею занимается выдающийся математик, механик и физик, один из основоположников гидродинамики Леонард Эйлер (1701 - 1783 гг.). С помощью магических квадратов большого порядка он пытался построить единую картину мира и физических процессов, основывая свои рассуждения на том, что в мире должен существовать совершенный баланс сил, который можно заключить в математическую таблицу.
2.Исторически значимые магические квадраты
Квадрат Ло Шу
Квадрат Ло Шу – важнейший инструмент Фэн-шуй. В нём скрыто множество закономерностей и взаимосвязь с окружающим пространством и временем. Понимание этих закономерностей дает ключ к пониманию законов Вселенной.
Квадрат поделён на 9 частей, каждой из которых соответствует определённое число от 1 до 9. Сумма чисел по столбцам, строкам, обеим диагоналям одинакова и равна числу дней в каждом из 24-х циклов китайского солнечного года - 15. Четные и нечетные номера чередуются: причем 4 четных числа (пишутся снизу вверх по убыванию) находятся в четырех углах, а 5 нечетных чисел (пишутся снизу вверх по возрастанию) образуют крест в центре площади. Пять элементов креста отражают землю, огонь, металл, воду и лес. Земля 1 (или вода) находится снизу, огонь 9 (или небо) – сверху. Сумма любых разделенных центром двух чисел равна числу Хо Ти, т.е. десяти. Не исключено, что современное изображение цифры 5 многим обязано китайскому символу двуединственности Инь и Ян.
Ло Шу тесно связан с символом Багуа. Каждому квадрату, кроме числа, соответствует компасное направление, триграмма, стихия и т.д.
Квадрат Ло Шу используется для деления жилого пространства на сектора, для анализа влияния Летящих звёзд, для составления натальной карты дома, используется в нумерологии для предсказания предстоящих событий, характеристики человека и выработки рекомендаций для достижения успеха и т.д.
Магический квадрат Ян Хуэя (Китай)
В 13 веке математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка, причём последний оказался почти ассоциативным (в нём две пары центрально противолежащих чисел не дают сумму 37).
Квадрат Альбрехта Дюрера
В начале XVI века знаменитый немецкий художник Альбрехт Дюрер увековечил магический квадрат в искусстве, изобразив его на заднем плане своей знаменитой гравюры «Меланхолия». Причём дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки.
Кроме одинаковой суммы, получаемой от сложения чисел, расположенных на каждой прямой горизонтали, вертикали или диагонали, также в круге, захватывающем угловые клетки квадрата, это же числовая сумма (34) получается во всех четырёх угловых квадратах (2х2) и в центральном – тоже 34. Если сложить четыре числа, полученные ходом шахматного коня – будет 34. Если складывать угловые прямоугольники (из двух клеток) с диагонально противоположными угловыми прямоугольниками – будет 34. Дюреровский квадрат симметричен, так как сумма любых двух входящих в него чисел, расположенных симметрично относительно его центра, равна 17.
В квадрате Дюрера нет хаоса. Цифры располагаются не только в строгой математической последовательности, но и в строгой симметрии. Квадрат как бы синтезирует математическую закономерность, геометрическую упорядоченность и "логическую" связь элементов.
Квадраты Генри Э.Дьюдени и Аллана У.Джонсона – мл.
Если в квадратную матрицу n×n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат – нетрадиционный. Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные в основном простыми числами. Первый имеет порядок n=3 (квадрат Эрнеста Дьюдени); второй (размером 4×4) – квадрат Тейлора Джонсона.
Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия.
Семь планетарных магических квадратов
Магические квадраты принято считать математическим выражением влияния соответствующей планеты и соответствующей каббалистической сефиры.
Известный немецкий гуманист Корнелий Генрих Агриппа (1486-1535) построил магические квадраты порядков 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — он связал их с семью астрологическими «планетами» — Сатурном, Юпитером,Солнцем,Венерой,Марсом,Меркурием, и Луной.
3.Теоретический материал.
Формула магической суммы
Для каждого числа n,где n – порядок магического квадрата, значение магической суммы S можно определить по формуле, которую легко вывести.
Во-первых: сумма чисел в каждой строке равна S,а строк всего n,значит, сумма всех чисел магического квадрата равна n×S.
Во-вторых: последовательность чисел от 1 до  представляет собой арифметическую прогрессию.
|
