2006 удк ббк ф
Скачать 3.72 Mb.
|
Философские проблемы математики Материалы для выполнения учебных заданий Новосибирск 2006 УДК ББК Ф Философские проблемы математики: Материалы для выполнения учебных заданий. Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2006. Составитель Д-р филос. наук, профессор Л.С. Сычева «Материалы» содержат статьи по философии математики, излагающие современные взгляды на философские проблемы математики, такие, как природа математического знания, способ бытия математических объектов, формирование нового знания в математике, отношение математики и других наук, различие чистой и прикладной математики. Материалы предназначены для студентов и магистрантов механико-математического факультета для углубленного изучения философских проблем их науки, а также для аспирантов ММФ, готовящихся к сдаче кандидатского экзамена «История и философия науки». Каждая статья снабжена вопросами, ответы на которые будут способствовать лучшему пониманию рассматриваемых вопросов. СОДЕРЖАНИЕ Философия математики Френкель А., Бар-Хиллел И. Философские замечания Целищев В.В. Поиски новой философии математики Способ бытия математических объектов Розов М.А. Способ бытия математических объектов Коллинз Р. Социальная реальность объектов математики и естествознания Розов Н.С. Природа «упрямой реальности» в философии естествознания и математики Сычева Л.С. Проблема реальности математических объектов Формирование нового знания в математике Григорян А.А. Социокультурные и метафизические круги и их преодоление в развитии математики Веркутис М.Ю. Рефлексивная симметрия как механизм новаций в условиях неведения Отношение математики и других наук Вигнер Е. Непостижимая эффективность математики в естественных науках Возникновение математики Нидам Дж. Общество и наука на Востоке и на Западе Различие чистой и прикладной математики Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я Г. О различии некоторых подходов в чистой и прикладной математике Философские проблемы математики Книга А. Френкеля (математик, один из авторов важной системы аксиом Цермело-Френкеля для теории множеств) и И. Бар-Хиллела (специалист в области семиотики) представляет собой полный обзор результатов, полученных в основаниях теории множеств к 1958 году. Приведенный в хрестоматии параграф 8 из главы Y содержит изложение философских проблем, связанных с обоснованием математики, и различных точек зрения на их решение. Основное внимание направлено на исследование вопроса об онтологическом статусе множеств. Рассматриваются решения, предложенные платонистами, неономиналистами, неоконцептуалистами. Рассмотрены также попытки осознать математику как эмпирическую науку, качественно никак не выделяемую из других эмпирических наук, когда доказывается, что формальные науки менее «формальны», чем принято думать, а также попытка Куайна, которая исходит из того, что эмпирические науки не столь уж «эмпиричны». Целищев Виталий Валентинович, директор Института философии и права СО РАН, логик, доктор философских наук, выпустил несколько книг по философии математики. В первой главе книги «Философия математики», приведенной в хрестоматии, дает сводку направлений в философии математики, более подробно характеризует структурализм, номинализм, реализм. Анализирует платонизм как представление о том, что математические объекты существуют вне и независимо от человеческого сознания, существуют не в материальном мире, а в мире идеальных сущностей. Если платонизм как «рабочая» вера математика не вызывает у математиков никаких сомнений, то в философском отношении платонизм отягощен массой неприятных аспектов. Реакцией на философски затруднительную позицию платонизма является эпистемологизация математики, т.е. переход от рассмотрения традиционных вопросов о природе математических объектов и математической истины к исследованию вопросов математического познания. Френкель А., Бар-Хиллел И. Философские замечания. Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1966. Глава Y, § 8. Стр.398-416. Во многих местах этой книги, когда нам приходилось касаться некоторых щекотливых «философских» вопросов, мы прерывали изложение замечанием, что проблема эта будет освещена «позже». Теперь наступил последний срок выплаты накопившихся долгов. Вряд ли читатель после чтения этого заключительного параграфа проникнется ощущением, что все возникшие перед ним проблемы получили теперь свое окончательное разрешение. Почти никаких окончательных суждений он здесь не встретит; единственно, в чем мог бы состоять прогресс, так это в самой формулировке некоторых из этих проблем, а также различных точек зрения на них, что могло бы способствовать лучшему пониманию их существа. Первая из этих проблем — это онтологический статус множеств; не того или иного конкретного множества, а множеств вообще. Под словом «множество» обычно понимают то, что философы называют универсалиями (universals); таким образом, интересующая нас сейчас проблема есть частный случай давно известной и широко обсуждавшейся классической проблемы об онтологическом статусе универсалий. Три основных ответа на общую проблему универсалий, идущие еще от средневековых дискуссий, известны под именами реализма, номинализма и концептуализма. Мы будем рассматривать здесь не сами по себе эти направления мысли в их традиционных версиях (1), а только их современные аналоги, известные как платонизм (2), неономинализм и неоконцептуализм (впрочем, приставку 'нео' мы будем, как правило, опускать, так как здесь у нас не будет случая обсуждать старинные версии). Мы рассмотрим затем еще одну позицию, согласно которой вся эта проблема онтологического статуса универсалий вообще и онтологического статуса множеств в частности есть не что иное, как метафизическая псевдопроблема. Платонисты убеждены, что для каждого правильно определенного одноместного условия существует, вообще говоря, соответствующее множество (или класс), состоящее из всех тех и только тех предметов, которые удовлетворяют этому условию, и что это множество само является предметом с таким же полноправным онтологическим статусом, как и его члены. Если бы только не антиномии, то лучшим отражением интуитивной позиции платонистов должно было бы быть идеальное исчисление К (стр. 172) или что-нибудь в этом роде; главная особенность такого рода систем — это ничем не ограниченная схема аксиом свертывания. Будучи вынужденными считаться с реальной ситуацией, платонисты допускают, хотя и с неохотой, что их представления о том, что такое правильно определенное условие, могут оказаться недостаточно четкими, и заявляют о своей готовности наложить на употребление схемы аксиом свертывания некоторые ограничения, вроде тех, что приняты в теории типов или в теории множеств цермеловского толка. Однако в глубине души они надеются, что рано или поздно кому-нибудь удастся показать достаточность гораздо менее радикальных мер предосторожностей. Может, конечно, случиться, что некоторые платонисты придут к убеждению (или другие сумеют убедить их) в том, что в мире, в котором они живут, предметы действительно расслоены (are really stratified) на типы и порядки, тогда они примут теорию типов не в качестве удобного соглашения, а в качестве описания реальной ситуации. Неономиналисты заявляют, что они вообще не могут понять, что имеют в виду те, кто говорит о множествах, — такие разговоры для них могут представлять собой лишь facon de parler (манера выражаться). Единственный язык, на понимание которого они претендуют,— это исчисление индивидов (calculus of individuals), построенное как прикладное функциональное исчисление первого порядка. Многие обороты, используемые как в научном, так и в повседневном языке, зависящие, prima facie (на первый взгляд), от термина 'множество', номиналисты без особого труда точно переводят на свой ограниченный язык. Такое, скажем, обычное выражение как «множество предметов а есть подмножество предметов b» они переводят как «для всех x, если х есть а, то х есть b». Некоторые другие обороты и выражения представляют большие трудности для такого перевода. На языке теории множеств легко выразить тот общепринятый способ образования понятий, посредством которого какое-либо асимметричное и интранзитивное отношение порождает новое отношение наследственности (the ancestral) (5) (которое оказывается уже транзитивным). Например, исходя из допущения, что в области целых чисел уже имеется отношение 'быть на единицу больше’ (но пока не просто 'быть больше'), определяют: х больше, чем у, если и только если х отлично от у и х принадлежит всем множествам, содержащим у и все целые числа, на единицу большие любого их члена. Воспроизведение такого способа образования понятий в исчислении индивидов часто требует больших ухищрений, в ряде же случаев эта задача по-видимому, вообще невыполнима (6). Известно, что выражения типа «кардинальное число множества а есть 17» (или «... не более 17», или «... не менее 17», или «... лежит между 12 и 21» и т. п.) легко выразимы в функциональном исчислении первого порядка с равенством. Однако такое выражение, как «кошек больше, чем собак» уже вызывает значительные трудности, и хотя в данном и любых других конкретных случаях эти трудности все же преодолимы, нет общего метода номиналистического истолкования выражения «предметов а больше, чем предметов b» (7). Трудности, возникающие при попытках выразить всю классическую математику в номиналистических терминах, производят впечатление непреодолимых — и так оно, по всей вероятности, и есть. Поскольку речь идет о канторовской теории множеств, теории трансфинитных кардинальных чисел и подобных им теориях, то номиналисты только рады избавиться от этих теорий и с равнодушием относятся к понесенным «потерям». Зато к тем разделам математики, которые находят применение в других науках, номиналисты относятся со здоровым уважением, и многие из них готовы скорее подвергнуть сомнению собственную философскую интуицию, нежели принести в жертву хотя бы часть такой рабочей математики. Есть только два заслуживающих внимания выхода из возникающих затруднений: либо продолжать пользоваться всеми нужными частями математики в надежде, по-видимому, не слишком обоснованной (8), что в конце концов удастся получить их адекватную переформулировку в номиналистических терминах, либо объявить всю высшую математику неинтерпретируемым исчислением, пользование которым, несмотря на отсутствие интерпретации, оказывается возможным благодаря тому обстоятельству, что его синтаксис формулируется (или может быть сформулирован) на вполне понятном номиналистическом метаязыке (9). Насколько успешно неинтерпретированное (и непосредственно не интерпретируемое) исчисление может выполнять возлагаемую на него задачу согласования интерпретированных предложений эмпирического характера — вопрос пока еще далеко не ясный, несмотря на большие усилия, потраченные на его решение многими учеными, занимавшимися проблемами философии науки (10). Здесь явственно усматривается близость к формалистической (гильбертовской) позиции, согласно которой определенная часть математики, в основном рекурсивная арифметика, считается интерпретируемой, а остальная часть — неинтерпретированным исчислением, используемым в качестве средства преобразования осмысленных предложений в другие осмысленные утверждения, причем этот статус «идеальных» частей математики сравнивается со статусом «идеальных» точек в аффинной геометрии. От такой точки зрения остается всего один шаг до принятия философии «как-будто» („As-if "philosophy"); Генкин (11) указывает, что финитистски настроенный номиналист, т.е. тот, кто верит, что мир (который для него представляется всегда в виде некоторой однородной области индивидов, причем природа этих индивидов роли не играет) состоит лишь из конечного числа элементов, вполне мог бы допустить, что существование бесконечного числа предметов есть полезный обман (pretense) (раньше в таких случаях говорили 'фикция' (fiction)). Он, конечно, видит, что уж если быть готовым к фикциям, то с таким же успехом можно было бы согласиться с фикцией о существовании универсалий и пользоваться в полном объеме платонистским языком, отрицая в то же время, что тем самым приходится принимать онтологические соглашения, связываемые обычно с таким языком; однако он чувствует, что между этими двумя фикциями есть существенное различие, вследствие которого последовательный номиналист охотнее согласится с первой фикцией, чем со второй; Генкин признает при этом, что никакого объективного критерия для такого различения фикций ему неизвестно. Конечно, он прав, говоря, что такой образ действий, при котором использование языков форм не предполагает принятия онтологических допущений, производит несколько легкомысленное впечатление и нуждается поэтому в дальнейших разъяснениях (12). Имеются и такие авторы, которых не привлекает ни сочная растительность платонистских джунглей, ни суровый пустынный ландшафт неономинализма. Им больше нравится жить в тщательно распланированных и хорошо обозримых садах неоконцептуализма. Они претендуют на понимание того, что такое множество, хотя и предпочитают пользоваться метафорой построение (или придумывание (inventig}), а не любимой метафорой платонистов выбор (или открытие); эти метафоры заменяют собой более старую антитезу: существование в сознании— существование в некотором внешнем (реальном или идеальном) мире. Неоконцептуалисты готовы допустить, что любое вполне определенное и ясное условие действительно определяет соответствующее множество — коль скоро в этом случае они могут «построить» это множество, исходя из некоторого запаса множеств, существование которых либо интуитивно очевидно, либо гарантировано предварительными построениями,— но не согласны принимать никаких аксиом или теорем, в силу которых им пришлось бы согласиться с существованием каких бы то ни было множеств (13), не характеризуемых конструктивным образом. Поэтому они не допускают множеств, соответствующих непредикативным условиям (за исключением, конечно, тех случаев, когда можно доказать, что такое условие можно заменить равносильным ему предикативным), и отрицают справедливость (validity) теоремы Кантора в ее наивной, абсолютной интерпретации, в силу которой множество всех подмножеств любого данного множества имеет мощность большую, чем мощность самого этого множества. Абсолютное понятие несчетности объявляется лишенным смысла, хотя и может случиться, что какое-либо бесконечное множество окажется не перечислимым с помощью некоторых данных средств. Конечно, в номиналистически интерпретируемой теории множеств, при которой '  ' интерпретируется как 'является членом', заключено contradictio in adiecto (14 - противоречие по определению). Но мы говорили уже, что некоторые номиналисты согласны пользоваться теорией множеств как неинтерпретированным исчислением, выполняющим чисто трансформационные функции. И платонисты, и концептуалисты настаивают на том, что теория множеств (как и вообще математика) должна быть интерпретируемой и понимаемой сама по себе и не использовать никаких неинтерпретируемых исчислений. Расходятся же эти два направления в своем понимании того, что такое «понимаемость» (intelligibility).Нечего и говорить, что каждое из этих больших философских направлений распадается на множество более специальных, что границы их неопределенны и что часто бывает очень трудно отнести какого-либо автора с полной определенностью к одному из них. Логицизм обычно считают одной из разновидностей платонизма; однако сам Рассел на протяжении своей шестидесятилетней философской деятельности не раз высказывал идеи, носящие концептуалистский и даже номиналистический характер (15). Разветвленная теория типов имеет явственный концептуалистский привкус; что же касается аксиомы сводимости, то она, конечно, является платонистской. Когда он выступил со своей бесклассовой теорией (no-class theory), многие расценили ее (особенно это относится к члену венского кружка Гансу Хану в начале 30-х годов (16); впрочем, пожалуй, некоторое время так был настроен и сам Рассел) как чисто номиналистическую, продолжающую традиции бритвы Оккама. (Это было, однако, явным недоразумением, объясняемым отчасти двусмысленностью употребляемого Расселом термина 'пропозициональная функция': в значениях 'открытая формула' и в то же время 'аттрибут' (attribute). Фактически Рассел показал, каким образом можно обойтись без употребления классов, заменив их «пропозициональными функциями»; но эти функции были не чем иным, как аттрибутами (свойствами или отношениями), т. е. по меньшей мере такими же «универсалиями», какими являлись сами классы; Рассел отдавал себе отчет в двусмысленности этого своего словоупотребления, но заблуждался, полагая, что оно имеет чисто языковую природу (17). Гёделя теперь принято считать платонистом; но первые его работы испытали сильное влияние гильбертовской школы и даже Сколема, настроенного еще более решительно концептуалистски. Гёделевский постулат конструктивности (стр.153), имеющий очевидную концептуалистскую направленность, в качестве такового получил признание и одобрение концептуалистов; но сам Гёдель отказывается рассматривать его в качестве истинного теоретико-множественного утверждения (statement). Гильберт — отец современного формализма; но его метаматематика в сильной степени концептуалистична, а взгляд, согласно которому математические понятия высших ступеней абстракции имеют «идеальную» природу, вообще трудно отнести с определенностью к какому-либо из обычных направлений. Лоренценовский операционизм следует охарактеризовать как некий переходный оттенок в смеси концептуализма и номинализма породы «как-будто», но характеристика эта лишь в малой степени вскрывает нам все отпугивающие стороны его позиции. Куайн, начинавший как логицист, в течение многих лет пытался защищать номиналистическую позицию, но теперь он чувствует, что, устав от своих донкихотских попыток номиналистской реконструкции, может впасть в концептуализм, успокаивая при этом «свою пуританскую совесть сознанием, что не совсем уж погряз в платинистской скверне (18)» (19). Для первых работ Тарского характерна идущая от Лесневского позиция, характеризуемая самим Тарским как интуиционистский формализм; но теперешняя его позиция уже не такова (20). Если раньше он испытывал затруднения, связанные с обоснованием оперирования над бесконечными множествами предложений, то теперь он, не проявляя видимых угрызений совести, вводит в рассмотрение языки, множества индивидных констант которых имеют любую мощность. Было бы легко, даже слишком легко, продолжать в том же духе. Лишь очень немногие современные логики и математики последовательно и неуклонно придерживались в течение всей своей жизни одной и той же философской линии. Говоря об исключениях из этого правила, можно назвать Брауэра, всю жизнь являющегося искренним и бескомпромиссным концептуалистом (позиция эта, между прочим, не помешала ему доказать несколько «классических» теорем топологии), Чёрча, проповедующего прямолинейный (хотя отнюдь не догматический) платонизм, и Гудмена, до сих пор не поддавшегося концептуалистским соблазнам и стойко исповедующего самый крайний номинализм, который если и меняется в чем-либо со временем, то разве что в сторону еще большей радикальности. Следует, правда, отметить, что номинализм его несколько особой марки и имеет мало общего с классическим номинализмом. Номинализм этого рода можно было бы назвать чисто синтаксическим номинализмом; Гудмен настаивает на том, что единственной законной формой языка является некоторое функциональное исчисление первого порядка, но без каких бы то ни было ограничений, по крайней мере официально принятых им, на онтологический статус самих индивидов, до которых ему нет решительно никакого дела; в качестве таковых можно рассматривать хотя бы сообщения с того света, или числа, или множества, вернее «множества», поскольку про такие множества нельзя сказать, что они содержат какие-либо члены. Короче говоря, девиз Гудмена таков: он ничего не имеет против множеств, он только не может понять, что значит множество чего-либо (21) . Для большинства авторов, занимавшихся основаниями математики, характерно поразительное непостоянство философских позиций. С их точки зрения, эти изменения воззрений вполне естественно объяснять эволюцией мышления в сторону большей его зрелости и считать более поздние позиции более обоснованными, нежели ранние, независимо от того, в какую именно сторону произошел сдвиг. В то же время вполне естественно, что в глазах некоторых мыслителей все эти причудливые блуждания служат подтверждением той точки зрения, что ни одна из рассмотренных трех основных онтологических концепций объективно не имеет никакого отношения к проблеме оснований, независимо от того, что думают по этому поводу приверженцы этих концепций и насколько сильны в этом отношении их чувства. Сторонники такого образа мыслей пришли к выводу, что теории множеств следует оценивать не по их онтологиям (в смысле Куайна), а по их плодотворности. Существуют или нет непредикативные множества — на этот вопрос не следует ждать ответа ни от теоретических рассуждений, ни от (иррациональной?) веры, основывающейся на интуиции или свободе совести. Получившие столь широкое распространение противоположные мнения были вызваны совместным рассмотрением и смешением двух совершенно различных вопросов: первый из них — можно ли доказать, или опровергнуть, или доказать неразрешимость некоторых определенных экзистенциальных предложений в некоторой данной теории; другой вопрос — следует ли принять всю эту теорию. Можно ли доказать в  существование множества, являющегося объединением (множеством-суммой) трех данных множеств,— это серьезный вопрос, легко решаемый, как мы знаем, положительно. Можно ли доказать в несуществование нетривиального недостижимого числа — это еще более серьезный вопрос, причем настолько трудный, что мы не умеем на него ответить. По отношению же к системе  на тот же самый вопрос тривиальным образом следует дать отрицательный ответ. А для некоторых других теорий ответ может оказаться положительным, иногда получаемым тривиально, иногда требующим глубоких рассуждений. Следует ли принять систему , или  , или , или |
Похожие:
 | Учебное пособие предназначено для студентов направления подготовки «Юриспруденция» (квалификация бакалавр) удк 347. 73/76 |  | |
| Зюляев Н. А. кандидат экономических наук, доцент Марийского государственного технического университета | | Выпускается при информационной поддержке Гильдии маркетологов и Российской ассоциации маркетинга |
| Чоу впо «Республиканская академия предпринимательства и дополнительного образования» | | Никифоров Иван Валерьевич, кэн, президент ОАО «Совет по туризму Санкт-Петербурга» |
| Иркутская областная государственная универсальная научная библиотека им. И. И. Молчанова-Сибирского | | Иркутская областная государственная универсальная научная библиотека им. И. И. Молчанова-Сибирского |
| Издательство выражает благодарность литературному агентству Р. & R. Permissions & Rights за содействие в приобретении прав | | «Медиаобразование и медиакомпетентность»: Всероссийская научная школа для молодежи |